Bài hình IMO shortlist 2012-G3

Bài toán:Cho có các đường cao .Gọi lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp .Gọi lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và .Chứng minh:

Lời giải:

Trước tiên ta sẽ chứng minh đồng viên.

 

Gọi là tâm nội tiếp ,thế thì ta cần chứng minh

Gọi lần lượt là tiếp điểm của với .Khi đó ta có: đối xứng với nhau qua .

Thật vậy,dễ có là tứ giác nội tiếp nên

suy ra: .

Từ đó ta có:

Suy ra: hay

Gọi là điểm đối xứng với qua .

Ta có:

.

Do đó: .

Hoàn toàn tương tự thì ta có: và đối xứng với nhau qua $QR$.

Vì thế: nên là tứ giác nội tiếp.

Mặt khác ta lại có:

Thật vậy,gọi là giao của và .

Ta có:

Suy ra: (1)

Do đó ta cần chứng minh

Gọi là giao điểm thứ 2 của và .

Khi đó: (2)

Mặt khác: vì là tâm đẳng phương của 3 đường tròn nên thẳng hàng. (3)

Từ ta có