Giới hạn dãy số

Bài toán: Cho dãy số không âm $u_n$ thỏa mãn:

$4u_{n+2} \leq (\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+..+\dfrac{1}{n+n})u_{n+1}+(\dfrac{1}{n+n}+..+\dfrac{1}{n+3n})u_n$ .

Chứng minh rằng dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Lời giải:

Ta có: $(\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+..+\dfrac{1}{n+n}) < \dfrac{n}{n+1}<1$

Và: $(\dfrac{1}{n+n}+..+\dfrac{1}{n+3n})<\dfrac{2n+1}{2n}<\dfrac{3}{2}$

Do đó: $u_{n+2}<\dfrac{1}{4}u_{n+1}+\dfrac{3}{8}u_n$

Xét dãy $(v_n)$ thỏa mãn:

$v_1=u_1,v_2=u_2$ , $v_{n+2}=\dfrac{1}{4}u_{n+1}+\dfrac{3}{8}v_n$ , $n \geq 1$

Giải phương trình đặc trưng ta có: $v_n=a(\dfrac{3}{4})^n+b(\dfrac{-1}{2})^n$ .

Suy ra: $lim v_n=0$ .

Ta sẽ chứng minh: $v_n \geq u_n \geq 0$ , $\forall n \geq 1$ .(*)

Rõ ràng với $n=1$ ,thì (*) đúng.

Giả sử $n=k+1$ đúng,khi đó:

$v_{k+2}=\dfrac{1}{4}v_{k+1}+\dfrac{3}{8}u_k \geq \dfrac{1}{4}u_{k+1}+\dfrac{3}{8}u_k=u_{k+2}$

Do đó: $v_n \geq u_n \geq 0$ , $\forall n \geq 1$

Theo định lí kẹp thì $lim u_n=0$ .

This entry was posted in Dãy số. Bookmark the permalink.

About cuoichutdi