10 bước và 3 phẩm chất quan trọng trong nghiên cứu khoa học

Trích dẫn từ bài báo cùng tên.

3 PHẨM CHẤT QUAN TRỌNG

GS. Ngô Bảo Châu chia sẻ rằng cuộc đời khoa học của anh được may mắn có môi trường giáo dục tốt, chính bởi vậy phẩm chất trong nghiên cứu khoa học cần phải được đặt lên hàng đầu. Anh chia sẻ, một công trình khoa học cần có là 3 phẩm chất theo thứ tự: Đúng và trung thực, mới và hay. Nhưng quan trọng nhất là đúng và trung thực.

Bên cạnh đó, GS. Ngô Bảo Châu nói rằng, làm khoa học và nghiên cứu khoa học phải xác định tìm cái gì mới, tìm hướng đi mới, không lặp lại. Ở nhiều lĩnh vực, phương pháp nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu, kết quả nghiên cứu phải mới. Với kết quả nghiên cứu mới sẽ được coi trọng nhất, thậm chí nếu trong trường hợp kết quả cũ thì cũng phải xem lại có được phương pháp mới để thuyết phục phương pháp này tới nhiều người khi áp dụng. Để hi vọng với phương pháp mới đó tác giả hoặc người khác có thể làm ra kết quả mới, vì bản thân phương pháp mới không được đánh giá và không được để ý đến, trừ khi chỉ tìm ra được kết quả mới. Mặt khác, cần phải đặc biệt coi trọng sự đánh giá của đồng nghiệp.

GS. Ngô Bảo Châu khẳng định, để có sự đánh giá chính xác, bài báo không quyết định, không cần phải chạy theo số lượng. Bên cạnh đó, chúng ta cần phải xác định cho mình những mục tiêu nghiên cứu ngắn hạn bên cạnh mục tiêu dài hạn. GS. Ngô Bảo Châu cũng cho biết, đến giờ khi có nhiều sinh viên vẫn cho rằng, khó nhất là tìm đề tài cho mình. Điều này càng khó hơn đối với nhà khoa học trẻ, vì bối cảnh khoa học hiện đại cạnh tranh rất quyết liệt. Bước khó khăn đối với nhà khoa học trẻ là có bước qua được khi làm khoa học tập sự độc lập hay không. GS. Ngô Bảo Châu gợi ý: “Ở các Hội thảo, tiếp xúc cá nhân là cơ hội lớn nhất cho các bạn trẻ tìm đề tài khoa học thỏa mãn tính thời sự. Những bài diễn giảng, trao đổi bên lề, các nhà khoa học sẽ cởi mở hơn nhiều và sẵn sàng chia sẻ việc họ đang làm và những khúc mắc trong quá trình nghiên cứu. Và đây là cơ hội để các bạn trẻ được tham gia vào những công trình lớn”.


QUY TRÌNH 10 BƯỚC


Theo GS. Ngô Bảo Châu, thực ra không có sách vở nào đúc kết các quy trình NCKH. Anh cho biết, tính chuyên nghiệp trong hoạt động khoa học phải thể hiện trước tiên ở quy trình nghiên cứu, điều này đặc biệt quan trọng đối với những nhà khoa học trẻ. Chủ nhân giải thưởng Fields chia sẻ, anh đã rất may mắn khi được học tập và trưởng thành tại những ngôi trường có truyền thống học tập và nghiên cứu, sớm được được những người thầy giỏi tận tình dẫn dắt trong nghiên cứu khoa học nên có điều kiện “sai đâu sửa đấy”. Các kĩ năng ấy dần “ngấm” và trở nên ngày càng thuần thục. Đối với những nước có nền khoa học tiên tiến, việc tuân thủ các quy trình nghiên cứu là điều tất yếu và là kĩ năng cơ bản, nhưng ở Việt Nam, có những người làm nghiên cứu đã bỏ quên hoặc chưa nhận thức đúng tầm quan trọng của việc tuân thủ những quy trình này.
GS. Ngô Bảo Châu đã đúc kết quy trình NCKH gồm 10 bước.

Thứ nhất, phải xác định được lĩnh vực nghiên cứu, có thể phụ thuộc vào khả năng chuyên môn. Một sinh viên hay người nghiên cứu mới vào nghề phải có người hướng dẫn. Cũng có trường hợp người đó có chuyên môn nhất định trong lĩnh vực khác với lĩnh vực anh ta lựa chọn. Nhưng cả 2 trường hợp đều phải có hành trang: có người hướng dẫn, xác định được hành trang để tự tin chứ không phải đi tay không đến “xứ sở” mới.

“Điểm xuất phát của nghiên cứu bắt đầu bằng câu hỏi. Thành công của nghiên cứu liên quan nhiều đến câu hỏi ban đầu. Để tìm ra câu hỏi đúng thì cần có kinh nghiệm nghiên cứu. Trong môi trường hiện đại, tính chuyên nghiệp cao, sinh viên tự xác định được cho mình những câu hỏi là việc khó vì chưa có kinh nghiệm, khó xác định đó có phải vấn đề thời sự không, có trong khả năng giải quyết không. Vấn đề trong khả năng giải quyết thì không còn thời sự, vấn đề thời sự thì nằm ngoài khả năng”, GS. Ngô Bảo Châu đưa ra một nghịch lí các nhà khoa học trẻ hay mắc phải.
GS. Ngô Bảo Châu cũng chia sẻ, cách nhanh nhất để xác định những vấn đề nóng hổi và không tưởng là phải tham gia các hội thảo khoa học. Bản thân anh vẫn thường xuyên tham gia hội thảo, nghe báo cáo của các đồng nghiệp để nắm vững các vấn đề khoa học, xem khoa học đang đi về đâu, xu hướng, vấn đề gì mấp mé mà sinh viên có thể làm được.

Thứ hai, sau phạm vi nghiên cứu, vấn đề, cơ hội, xác định câu hỏi thì những người làm nghiên cứu phải tập hợp tất cả những bài báo, công trình nghiên cứu khoa học để biết chính xác câu hỏi đã được giải quyết đến đâu. Không nên chọn những vấn đề quá khổ, quá khó hoặc không ai quan tâm nữa.

Thứ ba, phải đọc và xác định đâu là bài báo kinh điển, biết được tư tưởng quan trọng nằm ở đó, ai đã từng làm, làm đến đâu, sử dụng kĩ thuật gì. GS. Châu nói, cách đây 20 năm là khó, nhưng với internet hiện nay việc tập hợp thông tin là rất dễ. Tuy nhiên, có 1 việc không thay đổi nhưng đọc được không đơn giản. Lúc này cần môi trường khoa học, bạn bè cùng khám phá đề tài khoa học. Họ phải tự nguyện, phi vụ lợi và gắn kết mọi người với nhau. Khi cập nhật thông tin rồi phải biết hướng giải quyết, thường nằm ngay trong bài báo gần nhất. Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đương đại nhất, đó là hướng hiện thực nhất, khả thi nhất.

Thứ tư, việc lập kế hoạch không đơn thuần là về chuyên môn, nó còn là về mặt tài chính, phải có đội ngũ làm việc. Bước này mọi chuyện phải minh bạch.

Thứ năm, giải quyết. Làm khoa học là có rủi ro nhưng trong đầu người làm phải lường trước những khó khăn.

Thứ sáu, gói lại công việc. Ít khi thực hiện được 100%, đến 1 mức nào đó cần gói ghém lại, làm rõ những việc làm được và chưa làm được. Quan trọng trong đề tài là thực sự bàn về cái gì đó mới. Bước này cũng phải chỉ ra những cái chưa làm được. Đó là tiền đề cho khoa học tiếp theo.

Thứ bảy, viết bài báo khoa học. Kinh nghiệm của GS. Ngô Bảo Châu là chọn 2-3 bài báo cảm thấy chuẩn thì chép tay lại, sẽ hiểu phong cách trình bày bài báo như thế nào.

Thứ tám, viết xong có thể luân chuyển, gửi bạn bè, đồng nghiệp, xin ý kiến, trình bày ở hội nghị để nhận phản hồi. Sau đó viết lại bài báo.

Thứ chín, chỉnh sửa bài báo.

Thứ mười, gửi đến 1 tạp chí. Cần phải chọn tạp chí.

Posted in Tản mạn | Leave a comment

Toán học và công nghiệp

Nhóm nghiên cứu toán học trong công nghiệp tại Hà Lan tổ chức hội thảo hằng năm, tập hợp khoảng 50-80 nhà toán học nhằm giải quyết các bài toán thực tế mà các công ty đưa ra. Sáu công ty sẽ trình bày các vấn đề của họ vào ngày thứ hai, và trong vòng một tuần, những người tham gia sẽ dành thời gian để giải quyết chúng theo các nhóm nhỏ. Sau đó, các báo cáo sẽ được viết lại dưới dạng học thuật và dạng đại chúng ứng với các nhóm độc giả khác nhau.

Lấy cảm hứng từ một mô hình tương tự tại Oxford kể từ năm 1968, hoạt động này đã liên tục diễn ra trong vòng 20 năm. Có rất nhiều công ty lớn ở Hà Lan và toàn cầu đã đến đây, thể hiện uy tín của chương trình. Trên trang web của chương trình có thêm rất nhiều thông tin bổ ích.

Tham khảo: https://www.swi-wiskunde.nl/

Posted in Bài viết của tôi | Leave a comment

zbMATH cho phép truy cập miễn phí

zbMATH là một cơ sở dữ liệu dùng để tra cứu các công trình toán học rất hữu ích. Bạn có thể đánh các từ khóa để tra cứu các ấn phẩm. Hiện nay các cơ sở dữ liệu thế này ngoài zbMATH còn có Google Scholar và Mathscinet. Tuy nhiên Google Scholar cho số liệu không quá chính xác còn Mathscinet thì không thể truy cập miễn phí nếu trường hoặc cơ sở đào tạo của bạn không trả phí. Nếu chỉ đơn thuần tìm kiếm bằng tranng công cụ của google thì sẽ mất nhiều thời gian và các bài viết chưa qua kiểm duyệt sẽ không đủ độ tin cậy. Vì vậy rất cần một cơ sở dữ liệu cho từng ngành đủ tốt để các nhà nghiên cứu sử dụng.

Một tín hiệu rất vui vì ngành xuất bản từ lâu trở thành một nỗi lo đối với giới khoa học khi mà việc trả phí là quá cao để có thể đọc được một ấn phẩm nếu bạn không muốn đọc lậu và tổ chức của bạn không chi trả cho nhà xuất bản. Có lẽ đến một lúc nào đó cần một cơ chế tốt hơn cho ngành xuất bản khoa học, để nhiều đối tượng có thể truy cập được kiến thức hơn.

Posted in Tản mạn | Leave a comment

Kurt Godel thi quốc tịch

Ngày 6/1 nước Mỹ bàng hoàng khi bạo động xảy ra tại Thủ đô Washington, khi nhiều người ủng hộ Tổng thống Donald Trump xông thẳng vào tòa nhà Quốc hội.

Có một thông tin rất thú vị đó chính là điều này đã được nhà toán học Kurt Godel dùng logic để chứng tỏ có thể xảy ra. Godel là một nhà toán học và triết học rất nổi tiếng, đặc biệt được biết tới là định lý bất toàn của ông. Ông thi quốc tịch Mỹ năm 1947 với sự làm chứng của Einstein. Cuộc đối thoại của ông và thẩm phán được ghi lại như sau

Examiner: "Now, Mr. Gödel, where do you come from?"
Gödel: "Where I come from? Austria."
Examiner: "What kind of government did you have in Austria?"
Gödel: "It was a republic, but the constitution was such that it finally was changed into a dictatorship."
Examiner: "Oh! This is very bad. This could not happen in this country."
Gödel: "Oh, yes. I can prove it."

Thẩm phán: Ông đến từ đâu?
Godel: Tôi đến từ Áo.
Thẩm phán: Chính phủ của nước đó thì thế nào?
Godel: Đó từng là nền cộng hòa nhưng giờ thì bị trở thành nền độc tài.
Thẩm phán: Oh, tệ quá, Mỹ thì không vậy đâu.
Godel: Oh Mỹ cũng thế, tôi có thể chứng minh.

Einstein phát hoảng, còn ông thẩm phán thì đủ thông minh để dừng Godel ngay lập tức.

Có thể xem thêm chi tiết tại đây.

Về Kurt Godel có một bài báo rất hay trên Tia sáng.

Posted in Tản mạn | Leave a comment

Một số bản thảo Olympiad

Ngày còn phổ thông, tôi có lưu giữ một vài bản đánh máy một số chuyên đề của bản thân và bạn bè. Hiện nay tôi đã lâu không còn làm những bài toán này nữa và cũng không chỉnh sửa thêm. Tôi sẽ cố gắng đưa lên tất cả mong có thể chia sẻ đến các bạn học sinh hay giáo viên có quan tâm.

Xem thêm : http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=46791

Điểm “đặc biệt”: http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=48160

3k+2: http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=47353

4k+3: http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=46184

Các tài liệu được đưa lên mà không có sự hiệu đính hay kiểm tra tỉ mỉ, mong mọi người thông cảm.

Posted in Bài viết của tôi | Leave a comment

80 năm phát triển của nghiên cứu toán học Việt Nam

Xin giới thiệu bài báo “80 năm phát triển của nghiên cứu toán học Việt Nam – góc nhìn sơ lược từ dữ liệu Scimath về các nhà toán học, các công trình và cộng sự của họ“. Bài báo và dữ liệu được trình bày tại Viện toán cao cấp Việt Nam ngày 13 tháng 11, năm 2020.

Bài báo tổng kết gần 80 năm, kể từ nằm 1947 – năm được xem như cột mốc khai sinh ra nền toán học hiện đại Việt Nam, với sự đánh dấu là bài báo nghiên cứu đầu tiên đăng ở tạp chí quốc tế của GS.Lê Văn Thiêm. Tại thời điểm viết bài, dữ liệu thu thập 8372 ấn phẩm của 1566 nhà toán học Việt Nam và 1492 nhà toán học nước ngoài từ năm 1947.

Dự án được đề xuất vào năm 2019 dưới sự chủ trì của GS. Ngô Bảo Châu và Tiến Sĩ Lê Minh Hà-Giám Đốc điều hành VIASM, xuất phát từ những trao đổi giữa GS. Châu và Tiến sĩ Vương Quân Hoàng (D9H Phenikaa). Tháng 8 cùng năm, dữ liệu SciMath được thiết lập và đến tháng 12, trang web http://SciMath.aisdl.com được ra mắt và chạy thử.

Dự án chính thức bắt đầu vào đầu năm 2020. Để được đưa vào SciMath, ấn phẩm phải thỏa mãn 2 điều kiện sau: thứ nhất, phải do ít nhất một người Việt Nam là (đồng) tác giả. Thứ hai, ấn phẩm phải được liệt kê trong ít nhất một trong các dữ liệu của : MathSciNet, zbMATH, Scopus, hoặc Web of Science.

Một số kết quả đáng chú ý trong bài báo:

Số lượng các công bố khoa học trước năm 1960 là khá thấp, chỉ khoảng 9 bài báo được viết bởi 3 người, ngoài Gs. Lê Văn Thiêm là các Gs. Đặng Đình Áng và Gs. Nguyễn Đình Ngọc. Từ thập niên 70, số lượng ấn phẩm tăng nhanh và đều đặn.

Không bất ngờ khi 2 tạp chí có số lượng đăng bài báo nhiều nhất là các tạp chí của Việt Nam (Acta Mathematica Vietnamica và Vietnam Journal of Mathematics). Các tạp chí khác trong top 10 thể hiện các ngành chủ đạo của Việt Nam- ngành tối ưu, ngành giải tích hay ngành đại số. (Có thể xem thêm chi tiết ở bản 4-số lượng tạp chí và tác giả theo ngành). Hai tạp chí của Việt Nam có số lượng công bố của người Việt rất áp đảo so với các tạp chí khác, lần lượt là 838 và 695 so với chỉ 158 đối với tạp chí đứng thứ 3.

Đối với những tạp chí đỉnh cao, chỉ 97 bài báo đã được đăng ở các tạp chí top 10 và 27 bài ở các tạp chí top 5. Sự biến đổi về chất lượng chỉ thực sự diễn ra từ cột mốc năm 2010, năm mà GS. Châu nhận giải thưởng Fields. Trong cùng năm thì chương trình trọng điểm quốc gia về phát triển toán học được thông qua, giúp tạo ra một môi trường làm việc tốt hơn dành cho các nhà toán học. Một hệ quả thấy rõ là trong vài năm trở lại đây, số lượng các nhà toán học (kéo theo số lượng công trình và chất lượng) tăng mạnh. Nếu trong khoảng từ thập niên 90 đến những năm 2000, số lượng các nhà toán học mới mỗi năm chỉ trên dưới 30 người thì gần đây con số ấy rơi vào khoảng 70, có năm còn vượt ngưỡng 100 người. Đây được xem như một tín hiệu vui với nền toán học Việt Nam.

Một điểm đáng lưu tâm liên quan đến việc hợp tác và nhóm nghiên cứu đó là các nhà toán học nước ta thích làm việc độc lập hoặc làm ở nhóm nhỏ (2, 3 người) và các nhóm nhỏ lại liên hệ với nhau. Dữ liệu SciMath có tổng cộng 3058 tác giả, trong đó tác giả nước ngoài chiếm gần phân nữa thể hiện việc phát triển nghiên cứu ở nước ta phụ thuộc rất nhiều vào bên ngoài. Không bất ngờ khi Viện toán học- VAST, một nơi có truyền thống nghiên cứu lâu đời, đóng góp nhiều công bố nhất, với gần 1/3 tổng số các công trình được đăng. Theo sau là ĐH Khoa học tự nhiên Hà Nội, ĐH Sư Phạm Hà Nội và ĐH Khoa Học Tự Nhiên TP.HCM với trên dưới 500 ấn phẩm.


Một tin rất vui đó là vào ngày 22/12, chương trình trọng điểm quốc gia về toán học giai đoạn 2021-2030 được thông qua. Với tâm trạng là một người được tiếp nhận nhiều ưu đãi từ chương trình này, tôi hi vọng nền toán học Việt Nam sẽ có nhiều đột phá và phát triển hơn nữa trong thời gian tới.

Posted in Tản mạn | Leave a comment

Tác phẩm của Nicholas Bourbaki

Bourbaki là tên một nhóm các nhà toán học xuất sắc tại Pháp, được thành lập giữa thập niên 30 nhằm mục đích viết những cuốn sách chuyên khảo về các chủ đề trung tâm của toán học. Nơi đây tạo nên những trường phái lớn và các hướng nghiên cứu chính của toán học hiện đại. Tôi rất thích bài báo của Arnold, một bài báo có xu hướng chỉ trích cách dạy toán theo lối Bourbaki, hướng đến lối học trực quan và thực tiễn hơn. Nhưng đồng thời, tôi lại rất thích cách làm toán và kiểu tư duy lớp lang của trường phái này. Ở đây, sư phạm và nghiên cứu toán có những khác biệt nhất định.

Dưới đây là bài báo “The work of Nicholas Bourbaki” của Jean Dieudonne, một trong những thành viên sáng lập Bourbaki, trình bày về triết lý của nhóm và quá trình hình thành một tác phẩm của Bourbaki. Bản dịch do dịch giả Lê Hồng Đăng lược dịch, đăng trên Thông tin Toán học tập 24 số 2.

Tác phẩm của Nicholas Bourbaki

Để hiểu xuất xứ của Bourbaki, chúng ta phải quay lại những năm sau Chiến tranh thế giới thứ nhất, khi tôi còn là sinh viên. Cuộc chiến này là một bi kịch lớn cho toán học Pháp. Tôi không phải quan tòa để phán xét hay rao giảng những bài học luân lý về những gì đã diễn ra trong cuộc chiến. Trong chiến tranh thế giới 1914-1918, chính phủ Đức và chính phủ Pháp có những chính sách khác nhau đối với lực lượng khoa học. Người Đức khuyến khích các nhà khoa học theo đuổi công việc của mình, và tận dụng những phát minh và sáng chế khoa học để nâng cao sức mạnh quân sự của quân đội Đức. Người Pháp, ít nhất là ở giai đoạn đầu cuộc chiến, nghĩ rằng phải động viên tất cả nhân lực cho chiến tranh; vì thế các nhà khoa học trẻ cũng phục vụ ở mặt trận như mọi người. Tinh thần bình đẳng và ái quốc đó đáng để ta khâm phục, nhưng hậu quả là rất nhiều nhà khoa học trẻ đã hy sinh. Lật lại hồ sơ thời chiến của Trường Sư phạm Paris, ta thấy những khoảng trống lớn vì có đến hai phần ba lực lượng nhập ngũ đã chết trong cuộc chiến. Tình thế này ảnh hưởng nặng nề đến toán học Pháp. Chưa đủ tuổi nhập ngũ trong thế chiến, thế hệ chúng tôi bước vào đại học mà không có sự dìu dắt của thế hệ đàn anh mà chắc chắn có không ít những người xuất chúng. Chiến tranh bạo tàn cướp đi cuộc sống của họ và triệt tiêu dấu ấn khoa học của họ.

Dĩ nhiên vẫn còn lại những nhà khoa học lớn tuổi, những học giả đem lại cho chúng tôi lòng tự hào và niềm kính trọng. Các giáo sư như Picard, Montel, Borel, Hadamard, Denjoy, Lebesgue, v.v., vẫn tiếp tục sống và làm việc năng nổ, nhưng họ đã đến tuổi ngũ tuần hoặc hơn nữa. Có một khoảng cách thế hệ lớn giữa họ và chúng tôi. Không phải chúng tôi không được học những điều quý giá từ họ: các bài giảng của họ đều tuyệt vời, nhưng một điều khó bàn cãi (dù ở thời đại nào cũng vậy) là một nhà toán học ở tuổi ngũ tuần biết rõ nhất những điều mình đã học ở tuổi hai mươi hay ba mươi, còn với toán học đương thời, người đó chỉ có hiểu biết tương đối sơ lược. Đó là một sự thực cần chấp nhận hơn là một điều dễ dàng thay đổi.

Chúng tôi được học các giáo sư thông thạo về toán học của những năm 1900, nhưng chúng tôi không biết gì nhiều về toán học của những năm 1920. Như đã nói ở trên, nước Đức có chính sách khoa học khác với Pháp, nên sau thế chiến trường phái toán học Đức đạt đến độ chín phi thường. Để làm rõ điểm này, chỉ cần nhắc đến những tên tuổi hàng đầu: C.L.Siegel, E. Noether, E. Artin, W. Krull, H.Hasse, v.v., những người rất ít được biết đến ở Pháp. Hơn thế, nước Pháp cũng gần như mù tịt về trường phái toán học đang phát triển nhanh của Nga, trường phái non trẻ nhưng xuất chúng của Ba Lan, và nhiều nền toán học khác. Chúng tôi không biết đến công trình của F. Riesz hay von Neumann, v.v. Chúng tôi đóng chặt cửa, sống trong thế giới của mình, với lý thuyết hàm giữ vị trí độc tôn. Ngoại lệ duy nhất là Elie Cartan; nhưng vì đi trước thời đại mình đến 20 năm, Cartan hầu như không được ai ở Pháp biết đến. (Người đầu tiên sau Poincaré thấu hiểu tài năng của Cartan là Hermann Weyl, và suốt mười năm trời chỉ có Weyl là người duy nhất hiểu Cartan, làm sao lũ sinh viên trẻ chúng tôi có đủ kiến thức để hiểu ông?) Nên ngoại trừ E. Cartan, người vẫn vô danh ở giai đoạn này (Cartan sẽ được biết đến hai mươi năm sau, để rồi từ đó danh tiếng của ông mỗi ngày một lớn), chúng tôi bị bó buộc trong lý thuyết hàm, một lĩnh vực tuy quan trọng nhưng chưa phải là tất cả toán học.
Cánh cửa duy nhất mở ra với thế giới cho chúng tôi lúc đó là seminar của Hadamard, người tuy là giáo sư của Đại học Pháp nhưng không phải là một nhà sư phạm xuất chúng. (Sự nghiệp trứ tác của ông đủ lớn để có thể nói như vậy mà không làm tổn hại gì đến danh tiếng của ông.) Ông có ý tưởng tổ chức một seminar giải tích về các công trình đương đại (có lẽ ông học được ý tưởng này từ nước ngoài, vì việc này chưa có tiền lệ ở Pháp). Đầu năm học ông gửi cho tất cả những ai muốn trình bày báo cáo trong seminar bản thảo mà ông cho là quan trọng nhất trong năm vừa qua, và mỗi người phải trình bày vấn đề trên bảng. Ở thời đó đây là một ý tưởng mới mẻ, một ý tưởng đặc biệt quý giá vì nhờ nó chúng tôi được tiếp cận công trình của những nhà toán học với nguồn gốc xuất thân khác nhau. Seminar Hadamard nhanh chóng cuốn hút cả những nhà toán học ngoại quốc; họ đến góp mặt đông đảo. Cánh sinh viên trẻ
chúng tôi nhờ đó được tiếp cận với nhiều nhà toán học và trường phái toán học mà mình chưa từng biết đến trên giảng đường đại học. Tình trạng đó tiếp diễn, cho đến lúc một số người trẻ tuổi như A. Weil, C. Chevalley, với kinh nghiệm từ những chuyến đi Ý, Đức, Ba Lan, v.v., nhận ra rằng cần phải làm điều gì đó nếu không muốn nước Pháp bị bỏ lại phía sau. Pháp có thể tiếp tục duy trì thế mạnh về lý thuyết hàm, nhưng trong tất cả các ngành còn lại, sẽ không ai quan tâm đến các nhà toán học Pháp nữa. Một truyền thống hai trăm năm đang có nguy cơ sụp đổ, vì từ Fermat đến Poincaré, những nhà toán học Pháp lớn nhất luôn nổi danh như là những người có tầm phổ quát, lịch duyệt cả về số học lẫn đại số, giải tích, hay hình học. Chúng tôi lo lắng khi một thế giới ý tưởng đang được phát triển ở ngoài những bức tường chật hẹp của nước Pháp, một số trong chúng tôi được đi ra ngoài và tận mắt chứng kiến những bước tiến đó. Sau khi Hadamard nghỉ hưu năm 1934, seminar của ông được tiếp tục với chút ít điều chỉnh bởi G. Julia. Trọng tâm bây giờ hướng về nghiên cứu một cách hệ thống hơn những ý tưởng toán học lớn đang nở rộ ở khắp mọi nơi. Tình hình này dẫn đến ý tưởng không chỉ giới hạn ở tổ chức seminar nữa, mà cần xuất bản một bộ sách để thâu tóm những ý tưởng chính của toán học hiện đại. Đó là bối cảnh đưa đến các tác phẩm của Bourbaki. Cần phải nhấn mạnh rằng các thành viên của Bourbaki khi đó đều rất trẻ và nếu già dặn hơn, hiểu biết có hệ thống hơn, chắc chắn họ đã không bao giờ xuất bản được các tác phẩm mang tên Bourbaki. Trong phiên họp đầu tiên, chúng tôi dự định trong vòng ba năm sẽ hoàn thành một cuốn sách phác thảo những nguyên lý cơ bản của toán học. Lịch sử đi theo một hướng khác. Dần dần, tích lũy thêm kinh nghiệm và sự tỉnh táo, chúng tôi mới ý thức được khối lượng khổng lồ các công việc cần làm và hiểu rằng không thể hoàn thành nhanh chóng như dự định ban đầu được.

Phải thừa nhận rằng thời điểm này đã xuất hiện nhiều chuyên khảo xuất sắc và lúc đầu bộ sách hai tập “Đại số hiện đại” của Van der Waerden là tấm gương để Bourbaki noi theo. Tôi không định hạ thấp uy tín của Van der Waerden, nhưng chính ông đã nói trong lời nói đầu rằng đằng sau cuốn sách của ông là thành quả lao động chung với cả E. Noether và E.Artin, nên có thể coi “Đại số hiện đại” như một tác phẩm tiền thân của Bourbaki. Bộsách của Van der Waerden có tác động vang dội. Tôi vẫn nhớ năm 1930 ấy, khi đang làm luận án tiến sĩ ở Berlin. Ngày sách của Van der Waerden ra đời là một dấu mốc không thể phai mờ. Kiến thức đại số khi ấy của tôi quá thấp so với đầu vào của các trường đại học ngày nay. Tôi hối hả lật giở từng trang sách của “Đại số hiện đại” và ngỡ ngàng thấy một thế giới rộng lớn mở ra trước mắt. Kiến thức đại số của tôi ngày đó dừng lại ở mathématiques spéciales(2), định thức, một chút về tính giải được của các phương trình đa thức và đường cong hữu tỉ(3). Tuy mới tốt nghiệp Đại học Sư phạm Paris, nhưng tôi không biết thế nào là một iđêan, và chỉ mới học khái niệm “nhóm”! Ở những năm 1930 đây cũng là tình trạng hạn chế chung về kiến thức của những nhà toán học trẻ ở Pháp. Vì thế nhóm Bourbaki cố gắng noi theo gương của Van der Waerden, nhưng Van der Waerden chỉ đề cập đến đại số, hơn nữa chỉ một phần nhỏ của đại số. (Sau này, đại số sẽ phát triển đáng kể một phần nhờ bộ sách kinh điển của Van der Waerden. Tôi hay được hỏi nên bắt đầu học đại số từ đâu, và trong phần lớn trường hợp tôi vẫn đáp: Đọc Van der Waerden trước hết, rồi hãy bận tâm đến những bước phát triển về sau.) Đó là dự định ban đầu của chúng tôi. Van der Waerden sử dụng một ngôn ngữ rất chính xác, một cách tổ chức và phát triển các ý tưởng rất chặt chẽ và cô đọng, trong từng phần cũng như toàn thể bộ sách. Cảm thấy đây là cách viết sách tối ưu, chúng tôi bắt đầu soạn thảo về rất nhiều đề tài trước đó chưa được ai xem xét một cách tường tận. Lý thuyết tôpô sơ cấp chỉ có trong một vài chuyên khảo và trong sách của Fréchet – một tập hợp vô tổ chức của một số khổng lồ các kết quả. Tôi cũng có thể nói như thế về sách của Banach, tuy sâu sắc về chất lượng khoa học nhưng rất lộn xộn; về những đề tài khác như tích phân (theo cách hiểu của Bourbaki) và một số lớp phương trình đại số, gần như không tồn tại một tài liệu nào. Trước chương sách Bourbaki viết về đại số đa tuyến tính, tôi không biết bất cứ tài liệu giáo khoa nào trên thế giới giải thích thế nào là đại số ngoài. Chỉ có cách đọc những tác phẩm không quá rõ ràng của Grassmann. Và như thế nhóm Bourbaki nhận ra mình đang xử lý một khối lượng công việc khổng lồ, vượt xa tưởng tượng ban đầu, và như chúng ta đều biết, công việc ấy vẫn còn lâu mới kết thúc. Trong vali của tôi là bản thảo của cuốn sách thứ ba mươi tư của Bourbaki, trong đó có ba chương về lý thuyết nhóm Lie. Rất nhiều bản thảo khác đang trong quá trình chuẩn bị; những cuốn sách trước đã ra được bản chỉnh lý thứ ba hay thứ tư, nhưng chưa biết lúc nào chúng tôi mới kết thúc việc xuất bản.

Chúng tôi đã cân nhắc xem phải bắt đầu từ đâu, phải làm những gì. Phải chăng chúng tôi nên soạn một cuốn Bách khoa toàn thư về Toán học? Như chúng ta đều biết, người Đức đã khởi thảo một cuốn Bách khoa toàn thư như thế từ 1900. Nhưng cả với sự kỷ luật và chăm chỉ trứ danh của người Đức, đến 1930, sau rất nhiều bổ sung và sửa đổi, bộ sách đó vẫn tỏ ra quá bất cập so với toán học đương thời. Ngày nay, đứng trước khối
lượng khổng lồ các ấn phẩm toán học ra đời mỗi năm, chẳng ai còn nghĩ đến một kế hoạch phi thực tế như vậy. Có lẽ ít nhất ta cũng phải đợi đến khi máy tính cũng có trí tuệ và hiểu được tất cả các ấn phẩm toán học đó trong vòng vài phút. Tình hình hiện tại cũng như tình hình của 1930 chưa cho phép điều đó được thực hiện. Lặp lại một kế hoạch đáng kính nể nhưng đã thất bại là việc vô ích. Bộ Bách khoa toàn thư của năm 1930 chỉ thực sự hữu dụng như một danh mục tài liệu tham khảo, cho ta biết đại loại cần tìm một kết quả toán học ở đâu. Tất nhiên bộ Toàn thư không có một chứng minh nào, vì muốn thêm vào chứng minh, ta sẽ phải gia tăng số lượng 25 đến 30 cuốn sách của bộ lên khoảng mười lần. Không, cái chúng tôi muốn không phải một danh mục tài liệu thao khảo, mà là một tác phẩm giới thiệu chi tiết về toán học từ những nguyên lý đơn giản nhất. Điều này bắt buộc chúng tôi phải đưa ra những chọn lựa gắt gao. Những chọn lựa nào? Vâng, đó chính là phần căn bản trong quá trình hoạt động của Bourbaki. Ý tưởng mau chóng chiếm được sự đồng thuận là tác phẩm của Bourbaki phải mang tính công cụ. Đó là phải thứ gì hữu ích không chỉ trong một phần nhỏ mà trong càng nhiều càng tốt các địa hạt toán học. Nói đơn giản, chúng tôi muốn tập trung vào những ý tưởng toán học căn bản và những nghiên cứu thiết yếu nhất. Chúng tôi phải loại bỏ bất cứ thứ gì thứ yếu, không có ứng dụng rộng rãi hay không trực tiếp dẫn đến những khái niệm quan trọng đã được thời gian thử thách. Đã có rất nhiều cân nhắc – nguyên nhân của vô số các thảo luận trong nội bộ Bourbaki và không ít thái độ thù hằn dành cho nhóm. Khi các tác phẩm của Bourbaki bắt đầu có tiếng vang, nhiều người không mặn mà với việc đánh giá tích cực về Bourbaki vì đề tài họ yêu thích không được đề cập đến. Tôi cho rằng nguyên nhân của không ít sự bất mãn với Bourbaki nằm ở quá trình sàng lọc đề tài gắt gao của chúng tôi.


Đâu là cách lựa chọn những kết quả căn bản của chúng tôi? Một ý tưởng cần nhắc đến ở đây là ý tưởng về các cấu trúc toán học. Tôi không nói rằng ý tưởng này do chính Bourbaki nghĩ ra – không có gì phải bàn cãi về việc Bourbaki hiếm khi viết ra các kết quả hoàn toàn mới. Bourbaki không tìm cách cách tân toán học, và nếu một định lý được Bourbaki nhắc đến, thì nó đã được chứng minh từ trước đó hai, hai mươi, hay hai trăm năm. Điều Bourbaki làm là định vị và khái quát một ý tưởng đã được sử dụng rộng rãi từ lâu. Bắt đầu từ Hilbert và Dedekind, chúng ta đều biết rằng có thể xây dựng một cách chặt chẽ và hữu ích một phần lớn của toán học dựa trên một số ít các tiên đề được lựa chọn kỹ càng. Bắt đầu từ những tiên đề căn bản của một lý thuyết, ta có thể phát triển cả lý thuyết một cách hệ thống, toàn diện hơn bất kỳ phương pháp nào khác. Ý niệm về cấu trúc toán học xuất phát từ nhận xét đó. Cần phải nói ngay rằng, về sau này, ý niệm về cấu trúc toán học đã bị vượt qua bởi ý niệm về phạm trù và hàm tử, trong đó cấu trúc toán học xuất hiện dưới dạng tổng quát và tiện dụng hơn. Với tinh thần dũng cảm trước mọi thách thức mới (tôi sẽ nói rõ hơn về điểm này), ở những năm 1930, Bourbaki nhận thức rõ nhiệm vụ sử dụng các cấu trúc toán học trong tác phẩm của
mình. Với nhận thức đó, chúng tôi phải cân nhắc xem đâu là những cấu trúc toán học quan trọng nhất. Lẽ dĩ nhiên, cần rất nhiều thảo luận trước khi chúng tôi đi đến sự đồng thuận. Có thể nói Bourbaki không bao giờ cho mình là kẻ độc quyền chân lý; Bourbaki đã từng nhầm lẫn về tương lai phát triển của các cấu trúc toán học, nhưng chúng tôi đã từ bỏ những nhận định sai và biết nhận lỗi kịpthời. Những ấn bản chỉnh lý là chứng nhân rõ ràng của nhiều thay đổi. Bourbaki không có tham vọng gò toán học vào một khuôn khổ nhất định; điều đó đi ngược lại với mục đích ban đầu của chúng tôi. Nếu thiếu sự trân trọng với những ý tưởng mới, kể cả những ý tưởng vượt ra khỏi khuôn khổ của Bourbaki, thì chính chúng tôi đang phản bội lại truyền thống. Thái độ nhất quán không giấu giếm của Bourbaki cũng lại là một nguồn gây ra sự bất mãn, lần này là từ những thế hệ toán học đi trước, khi họ chỉ trích Bourbaki hành xử tùy tiện với di sản toán học trong quá khứ. Cụ thể hơn, việc lựa chọn định nghĩa và thứ tự trình bày các lý thuyết của Bourbaki luôn có tính logic và tuần tự. Nếu một cách trình bày trong quá khứ không tương thích với mô hình lý thuyết hiện tại, thì, rất tiếc, chúng tôi nghĩ rằng phải loại bỏ cách trình bày đó, dù nó có một truyền thống lâu đời đến thế nào. Ví dụ: Bourbaki từ chối gọi một hàm tăng là “không giảm”. Chúng ta biết rằng từ “không giảm” chỉ diễn đạt đúng điều chúng ta muốn khi quan hệ thứ tự được dùng đến là quan hệ thứ tự toàn phần. (Nếu làm việc với một quan hệ thứ tự không toàn phần, từ “không giảm” tất nhiên không diễn tả quan hệ “tăng nhưng không tăng ngặt”.) Vì thế Bourbaki loại bỏ hoàn toàn việc dùng từ này, cũng như nhiều từ khác. Bourbaki cũng sáng tạo ra nhiều thuật ngữ, đôi khi sử dụng cả tiếng Hy Lạp, nhưng nhiều trường hợp dùng ngôn ngữ thông thường, khiến những người câu nệ truyền thống trong toán học nhíu mày. Không chấp nhận nổi việc khối siêu cầu (hypersphéroide) ngày nào nay bị gọi là quả cầu (boule) hay đa diện song song (parallélotope) bây giờ bị giáng cấp xuống thành hình hộp (pavé), họ lắc đầu: “Sách vở gì cái thứ cợt nhả này.” Có một cuốn sách ra đời gần đây rất thú vị với chúng tôi. Đó là cuốn Thuật ngữ bí hiểm của các ngành khoa học của Etiemble, một chuyên gia bảo vệ ngôn ngữ tiếng Pháp. Etiemble cương quyết bảo tồn sự trong sáng của tiếng Pháp chống lại ngôn từ bí hiểm của phần lớn các khoa học gia. Rất hân hạnh là ông coi các nhà toán học Pháp như ngoại lệ khi bảo họ đã khôn ngoan lựa chọn những từ ngữ đơn giản,nguyên gốc Pháp từ trong ngôn ngữ hàng ngày, đôi khi thay đổi chút ít ý nghĩa. Ôngđưa ra những ví dụ hấp dẫn, những bài báo mới xuất hiện như Platitude et privilège và Sur les variétés riemanniennes non suffisamment pincées(4). Đó là phong cách ngôn ngữ của Bourbaki – một ngôn ngữ dễ tiếp cận, không bùng nhùng trong mớ thuật ngữ pha trộn đậm đặc các cụm từ viết tắt, như với nhiều văn bản Anh ngữ đề cập với độc giả về C.F.T.C., vốn liên hệ chặt chẽ với A.L.V. trừ trường hợp nó là một B.S.F. hay một Z.D., v.v. Sau khi đọc được mười trang khảo cứu như thế chẳng ai còn hiểu nổi câu chuyện đang được bàn thảo là gì. Bourbaki cho rằng giá thành mực in đủ rẻ để viết sách bằng ngôn ngữ rõ ràng, sử dụng những từ ngữ được cânnhắc kỹ càng.

Tôi nói rằng Bourbaki đã phải sàng lọc gắt gao khi chọn đề tài để viết. Để giải thích rõ hơn sự sàng lọc này, tôi sẽ dùng một hình ảnh so sánh. Dù cần đến ý tưởng về cấu trúc để làm sáng tỏ và phân biệt mọi thứ, chúng tôi sớm nhận thấy không thể cắt rời toán học thành các mảng riêng biệt. Hơn nữa, không khó để thấy sự phân chia toán học thành Đại số, Số học, Hình học và Giải tích đã lỗi thời. Chúng tôi cự tuyệt sự phân chia đó ngay từ đầu trước sự giận dữ của nhiều người. Ví dụ, ta biết rằng hình học Euclid là một trường hợp riêng của lý thuyết toán tử Hermit trong không gian Hilbert. Tương tự như thế, lý thyết về đường cong đại số và lý thuyết số gần như xuất phát từ cùng một loại cấu trúc. Cách phân chia toán học truyền thống như trên cũng giống như cách phân loại của các nhà sinh vật học cổ đại khi họ xếp cá heo, cá mập và cá ngừ vào cùng một lớp là cá, vì tất cả các động vật đó đều sống dưới biển và có hình dạng giống nhau. Phải mất một thời gian trước khi những nhà sinh vật học đó nhận ra cấu trúc cơ thể của các động vật này không hề giống nhau, và phải phân loại chúng theo một cách hoàn toàn khác. Đại số, Số học, Hình học, và những cách phân chia tương tự không khác gì câu chuyện kể trên. Nếu chỉ nhìn qua loa cấu trúc của từng phân ngành sẽ thấy cách phân chia toán học như thế là đúng. Nhưng không cần mất nhiều thời gian để thấy rằng dù có cố gắng tách biệt các cấu trúc đến đâu, chúng vẫn luôn có cách trộn lẫn rất nhanh chóng và vô cùng thú vị. Thậm chí có thể nói rằng các ý tưởng lớn của toán học đã nảy sinh khi có sự gặp gỡ của một số cấu trúc vô cùng khác biệt. Và đây là tưởng tượng của tôi về toán học ở thời điểm hiện tại. Toán học, đó là một cuộn len, một cuộn dây rối trong đó các phần của toán học tương tác với nhau theo những cách không thể tiên đoán được. Không thể tiên đoán, vì hầu như không có năm nào trôi qua mà không có một tương tác mới nảy sinh. Và tuy vậy, trong cuộn len này, vẫn có một số sợi len trồi ra từ khắp các hướng, không kết nối với bất cứ thứ gì khác. Thế thì, phương pháp của Bourbaki rất giản dị, chúng ta sẽ cắt các sợi len thừa ấy đi. Điều đó nghĩa là gì? Chúng ta hãy lập danh sách những gì được giữ lại và những gì bị loại ra. Những thứ cần thiết phải giữ lại: Những cấu trúc căn bản nhất (tất nhiên tôi không muốn chỉ còn lại tập hợp(5)), đại số tuyến tính và đa tuyến tính, một chút tôpô đại cương (càng ít càng tốt), một chút không gian vectơ tôpô (càng ít càng tốt), đại số đồng điều, đại số giao hoán, đại số không giao hoán, nhóm Lie, tích phân, đa tạp khả vi, hình học Riemann, tôpô vi phân, giải tích điều hòa và mở rộng của nó, phương trình vi phân thường và đạo hàm riêng, biểu diễn nhóm nói chung, và trong nghĩa rộng nhất, hình học giải tích. (Tất nhiên tôi hiểu hình học giải tích theo nghĩa của Serre, cách hiểu duy nhất có lý. Hoàn toàn không thể chấp nhận được cách hiểu hình học giải tích như đại số tuyến tính sử dụng tọa độ, như cách làm ở những sáchsơ cấp. Hình học giải tích theo cách này chưa bao giờ tồn tại với tư cách bộ phận của toán học. Chỉ những người kém cỏi về đại số tuyến tính, quẫn bách đến mức phải dùng tọa độ mới gọi phương pháp của họ là hình học giải tích. Khỏi cần bận tâm đến họ! Ai cũng biết rằng hình học giải tích là lý thuyết về các không gian giải tích(6), một trong những lĩnh vực sâu sắc và phức tạp nhất của toán học.) Cũng cần kể đến hình học đại số, người em song sinh của hình học giải tích, và cuối cùng lý thuyết số đại số. Đây là một danh sách gần như bắt buộc. Hãy xem những gì bị loại ra. Lý thuyết về số thứ tự và lực lượng (ordinals and cardinals), đại số phổ dụng, lưới (lattices), đại số không kết hợp, phần lớn tôpô đại cương, phần lớn không gian vectơ tôpô, phần lớn lý thuyết nhóm (về nhóm hữu hạn), phần lớn lý thuyết số (trong số đó có lý thuyết số giải tích). Quá trình lấy tổng và tất cả những gì có thể gọi là giải tích căn bản – chuỗi lượng giác, nội suy, chuỗi đa thức, v.v.; có rất nhiều thứ tương tự ở đây; và cuối cùng, tất cả toán ứng dụng. Tôi muốn giải thích rõ hơn đôi chút. Tôi hoàn toàn không có ý nói rằng khi sàng lọc như trên Bourbaki có bất cứ đánh giá nào về sự tinh tế và sức mạnh của các lý thuyết, dù được lựa chọn hay loại ra. Ví dụ, tôi tin rằng lý thuyết nhóm hữu hạn như ta biết ngày nay là một trong những lý thuyết sâu sắc và dồi dào nhất các kết quả phi thường, trong khi những lý thuyết như đại số không giao hoán chỉ khó vừa phải. Và nếu phải đánh giá, có lẽ tôi cần nói rằng hầu hết các kết quả toán học tinh tế – được ngưỡng mộ bởi sự khéo léo và đột phá của tác giả – đều bị loại trừ khỏi tác phẩm của Bourbaki. Như đã thấy, chúng tôi không xem mình là đấng tối cao đứng ra phân loại, phía bên này được chọn là toán học hay, phía bên kia không được chọn là toán học dở. Do chỗ muốn trình bày toán học hiện đại sao cho trung tâm phát xuất của toàn bộ thế giới toán học hiện ra rõ ràng, chúng tôi buộc phải loại ra nhiều chủ điểm. Về lý thuyết nhóm, dù đã có rất nhiều định lý đột phá và xuất sắc được khám phá, khó có thể nói rằng chúng cùng xuất phát từ một phương pháp tổng quát. Lý thuyết nhóm cần đến nhiều phương pháp khác nhau, và giống như một người thợ thủ công, nhà nghiên cứu làm việc trong lý thuyết nhóm cần dùng một loạt ngón nghề đặc biệt. Bourbaki không thể trình bày một lý thuyết như vậy. Bourbaki chỉ có thể và chỉ muốn trình bày những lý thuyết có thứ tự lớp lang, trong đó các phương pháp tuần tự theo sau các tiền đề, và không có nhiều chỗ cho những ngón nghề đặc biệt. Nói cách khác, Bourbaki chủ yếu trình bày những lý thuyết đã trở thành cổ điển, ít nhất là ở nền tảng. Chúng tôi không tập trung vào chi tiết mà vào các nguyên lý nền tảng. Một lý thuyết chỉ được đề cập khi có một phác thảo tuần tự, lôgic về nó. Không gì khác, lý thuyết nhóm chính là một chuỗi các bài trí phức tạp, càng ngày càng khó nắm bắt hơn và do đó trái ngược với tinh thần Bourbaki (lý thuyết số giải tích thì càng như thế). Tôi nhấn mạnh là Bourbaki tuyệt đối không đánh giá thấp giá trị của các lý thuyết đó. Ngược lại, giá trị của một nhà toán học chính là nằm ở những phát minh của anh/chị ta, kể cả những ngón nghề đặc biệt. Ai cũng biết câu tục ngữ Trước lạ sau quen. Vâng, vinh quang thuộc về người đầu tiên phát minh ra một kỹ thuật đặc biệt, chứ không phải người hệ thống hóa kỹ thuật đó thành một phương pháp sau khi sử dụng nó nhiều lần. Nhưng chính bước kém vinh quang đó là mục đích của Bourbaki: chúng tôi chọn lọc từ lượng lớn các quy trình toán học những yếu tố nào hữu ích có thể sắp đặt thành một lý thuyết nhất quán, có thứ tự lớp lang, dễ trình bày và tiện dụng. Phương pháp làm việc của Bourbaki rất căng thẳng và tốn kém thời gian, nhưng hầu như không thể tránh khỏi. Hai, ba lần trong năm, các thành viên của Bourbaki nhóm họp. Khi đã đồng thuận về việc viết về đề tài gì, cần cả một cuốn sách hay chỉ một vài chương về đề tài đó (với một cuốn sách, chúng tôi dự thảo trước một số chương), việc soạn bản thảo đầu tiên được giao cho một thành viên trên tinh thần tự nguyện. Xuất phát từ một kế hoạch khá sơ lược, thành viên đó sẽ soạn một bản thảo. Anh ta được thoải mái chọn viết và không viết về cái gì, không biết trước những may rủi gì đang chờ đợi mình, như bạn sẽ thấy. Sau một hay hai năm, bản thảo hoàn thành được mang ra xem xét ở một phiên họp của Bourbaki, được đọc không bỏ sót một trang cho mọi người cùng nghe. Không có chứng minh nào không bị soi xét đến từng điểm nhỏ và chỉ trích không thương tiếc. Phải góp mặt ở một phiên họp của Bourbaki ta mới biết những chỉ trích đó dữ dội đến mức nào, vượt xa tất cả những công kích đến từ ngoài nhóm. Không tiện nhắc lại ở đây ngôn từ cụ thể đã được sử dụng. Tuổi tác không thành vấn đề. Tuổi tác của các thành viên Bourbaki có thể khác xa nhau– chúng ta sẽ đề cập sau về giới hạn tuổi tác cho phép – nhưng khi có bất đồng chính kiến giữa hai người chênh nhau hai mươi tuổi, và người lớn tuổi hơn có vẻ như không hiểu đầu đuôi câu chuyện, người còn lại cũng được phép thoải mái chỉ trích bậc đàn anh. Như ở những nơi khác, mọi thành viên Bourbaki phải biết vui vẻ chấp nhận điểm yếu của mình. Trong mọi trường hợp, không cần nhiều thời gian để nhận được hồi âm, không ai có thể giả bộ như mình độc quyền chân lý trước các thành viên Bourbaki, và dù dành thời lượng không nhỏ cho những cãi vã kịch liệt, cuối cùng mọi việc đều đi đến hồi kết.

Nhiều người không phải thành viên, khi được mời làm khán giả trong một phiên họp của Bourbaki, đã bước ra với kết luận: đó là cuộc họp của những kẻ khùng. Họ không thể tưởng tượng được làm cách nào người ta có thể tạo ra tri thức sau khi hò hét vào mặt nhau, nhiều lúc với dàn đồng thanh của ba bốn người. Điều kỳ diệu là rồi mọi thứ cũng lắng xuống. Sau khi bản thảo đầu tiên bị vùi dập không thương tiếc, chúng tôi chọn ra thành viên thứ hai để soạn thảo và bắt đầu lại quá trình. Con người tội nghiệp đó biết những gì sẽ xảy ra với mình vì dù anh ta bấu víu vào những chỉ dẫn mới, ý kiến của cả nhóm lại thay đổi trong lần gặp gỡ tiếp theo và năm sau, đến lượt bản thảo của chính anh ta bị vùi dập. Một thành viên thứ ba sẽ đứng ra soạn thảo, và câu chuyện tiếp tục như vậy. Có thể tưởng tượng rằng quá trình này sẽ kéo dài vô tận, nhưng vì đời người hữu hạn, chúng tôi phải dừng lại. Nếu một chương sách được đem ra bàn luận đến lần thứ sáu, bảy, tám, hay lần thứ mười, ai nấy đều ngấy đến tận cổ và tất cả như một chấp thuận mang nó đến nhà in. Điều đó không có nghĩa bản thảo đã hoàn thiện, không ít lần sau bao nhiêu thận trọng ban đầu chúng tôi thấy mình nhầm lẫn không chỗ này thì chỗ khác. Vì thế ấn bản sau đó lại có thêm những điều chỉnh. Có điều chắc chắn là khó khăn lớn nhất nằm ở ấn bản đầu tiên. Từ lúc chúng tôi dự định viết một chương sách cho đến lúc nó được bày bán ở hiệu sách, thông thường cần từ 8 đến 12 năm. Những sách sắp ra là những cuốn đã được khởi thảo từ khoảng 1955.(7) Tôi đã nói rằng có giới hạn tuổi tác đối với thành viên Bourbaki. Quy định này được đặt ra từ sớm vì lý do kể trên – một nhà toán học ở tuổi ngũ tuần có thể vẫn rất sắc bén và dồi dào sức sáng tạo nhưng hiếm khi có thể thích nghi với những ý tưởng mới của những nhà toán học trẻ hơn 25, 30 tuổi. Bourbaki muốn duy trì trường tồn hoạt động của mình. Không có chuyện chúng tôi đóng khung toán học vào một giai đoạn nhất định nào đó. Nếu tác phẩm nào Bourbaki viết ra không cập nhật với xu thế toán học đương thời, tác phẩm đó không có giá trị và phải được viết lại từ đầu. Điều này đã có tiền lệ trong quá khứ. Nếu Bourbaki có thành viên cao tuổi, với niềm tin rằng không cần phải thay đổi những thứ tự có sẵn từ thời trai trẻ của mình, những người đó sẽ hạn chế xu hướng cập nhật và cản trở sự cách tân. Điều này sẽ là một thảm họa. Để tránh những xung đột đe dọa sự tồn vong của Bourbaki, ngay khi vấn đề trên được đặt ra, Bourbaki đã thống nhất yêu cầu mọi thành viên nghỉ hưu ở tuổi 50. Quy định đó vẫn được giữ nguyên; tất cả các thành viên hiện tại của Bourbaki đều dưới tuổi ngũ tuần. Những thành viên sáng lập đã nghỉ hưu từ khoảng mười năm trước, và không ít người từng được coi là thành viên trẻ cũng đã hoặc sắp đến tuổi nghỉ hưu. Bourbaki tuyển cộng tác viên mới như thế nào?Khôngcó một quy định nào về việc tuyển cộng tác viên, vì Bourbaki chỉ có một quy định chính thức duy nhất đã kể ở trên: mọi thành viên nghỉ hưu ở tuổi 50. Ngoài quy định đó, có thể nói rằng quy định duy nhất của Bourbaki là không có một quy định nào cả. Không có quy định, vì không bao giờ Bourbaki lấy biểu quyết số đông, chúng tôi phải nhất trí tuyệt đối trong mọi trường hợp. Mọi thành viên có quyền phủ quyết bất cứ chương sách nào anh ta xem là yếu kém. Sự phủ quyết của một cá nhân cũng đủ để chương sách không được in, và cả nhóm phải quay lại xem xét từ đầu chương đó. Đó là lý do quá trình làm việc của Bourbaki luôn cần nhiều thời gian: không dễ dàng gì có đồng thuận chung để đi đến bản thảo cuối cùng. Chúng tôi quan tâm đến việc thay thế những thành viên đến tuổi về hưu. Chúng tôi không lập hội đồng tuyển dụng thành viên mới (vì đó sẽ là một quy định, trong khi không có quy định nào cả). Không có ghế trống, như trong các viện hàn lâm. Vì phần lớn các thành viên của Bourbaki là các giáo sư – nhiều người làm ở Paris – họ có cơ hội gặp gỡ trực tiếp những nhà toán học trẻ, những thanh niên mới bắt đầu sự nghiệp nghiên cứu. Chúng tôi sớm chú ý đến những thanh niên có tài với tương lai đầy hứa hẹn. Khi biết một người như thế, chúng tôi mời anh ấy đến dự một phiên họp của Bourbaki trong tư cách đối tượng thí nghiệm. Đó là phương pháp truyền thống của chúng tôi. Ai cũng biết thế nào là đối tượng thí nghiệm: người ta thử nghiệm các loại virút trên chúng. Việc diễn ra ở Bourbaki cũng không khác; người trẻ tuổi xấu số kia sẽ là đối tượng nhắm đến trong cuộc khẩu chiến mang tên phiên thảo luận của Bourbaki. Không những phải hiểu rõ vấn đề được thảo luận, anh ta còn phải tham gia tích cực. Nếu giữ im lặng, anh ta sẽ không được mời nữa.
Anh ta cũng phải chứng tỏ một loại phẩm chất đặc biệt. Không ít những tài năng toán học lớn đã không được tham gia Bourbaki vì thiếu phẩm chất đó. Trong một phiên họp, những chương sách được thảo luận có thể xuất hiện theo thứ tự không định trước, và không ai biết trước liệu nhóm có thảo luận về tôpô vi phân trong phiên họp này, hay đại số giao hoán trong phiên kế tiếp. Chúng tôi xáo trộn mọi thứ – để dùng lại một ví dụ minh họa, cuộn len có thể là hình ảnh tượng trưng cho Bourbaki. Vì thế một thành viên Bourbaki cần phải quan tâm đến tất cả những thứ gì anh ta nghe được. Nếu anh ta sùng bái đại số đến mức nói rằng “Tôi chỉ quan tâm đến đại số, chấm hết”, không sao cả, nhưng anh ta sẽ không bao giờ trở thành thành viên của Bourbaki. Thành viên của Bourbaki phải quan tâm đến mọi thứ cùng một lúc. Không thể sáng tạo trong tất cả các ngành của toán học, điều đó không thành vấn đề. Tất nhiên không thể yêu cầu mọi người đều là một nhà toán học phổ quát; đó là đặc quyền dành riêng cho một thiểu số những thiên tài. Nhưng ít nhất, thành viên của Bourbaki cần phải quan tâm đến tất cả mọi thứ và khi cần, có thể viết một chương sách về một đề tài không thuộc chuyên môn của mình. Đó là điều gần như tất cả mọi thành viên đã làm, và tôi nghĩ hầu hết mọi người đều vô cùng hài lòng với trách nhiệm được giao. Từ kinh nghiệm cá nhân, nếu không được yêu cầu viết và thực sự viết một cách đến nơi đến chốn về những bài toán tôi hoàn toàn không có chút hiểu biết nào, chắc chắn tôi đã không thể đạt được một phần tư, thậm chí một phần mười những gì đã làm. Là một người làm toán, khi phải viết về những vấn đề mình không hiểu, ta sẽ đặt nhiều câu hỏi cho bản thân. Đó là tính cách đặc trưng của một nhà toán học. Ta sẽ cố gắng trả lời những câu hỏi đó, từ đó viết ra những công trình riêng ít nhiều có giá trị, độc lập với Bourbaki, nhưng được cưu mang bởi hoạt động trong Bourbaki. Vì vậy Bourbaki không hẳn là một hệ thống vô ích. Nhưng cũng có những người xuất chúng không thể thích nghi với những nghĩa vụ theo kiểu của Bourbaki, họ là những người hàng đầu trong một ngành nhưng không quan tâm đến những ngành khác.

Có những nhà đại số gạo cội không bao giờ muốn sờ đến giải tích, có những nhà giải tích nhìn trường quaternion như một quái vật. Họ có thể là những nhà toán học hàng đầu, xuất chúng hơn phần lớn các thành viên Bourbaki – có nhiều tên tuổi lớn trong số đó, và Bourbaki vui vẻ chấp nhận điều này – nhưng những người như vậy không bao giờ có thể trở thành thành viên của Bourbaki.
Trở lại câu chuyện đối tượng thí nghiệm. Khi một nhà toán học được mời đến phiên họp của Bourbaki, chúng tôi tìm kiếm khả năng thích nghi với các ngành khác nhau ở anh ấy(8). Thông thường chúng tôi không tìm thấy khả năng đó, chúng tôi chia tay và chúc anh ấy may mắn trên con đường về sau. Nhưng đôi lúc chúng tôi tìm thấy từ vị khách mời trẻ tuổi của mình phẩm chất đó: lòng ham chuộng những hiểu biết phổ quát về toàn bộ toán học, khả năng thích nghi với những lý thuyết khác xa nhau. Sau một thời gian ngắn, nếu có những đóng góp tích cực cho Bourbaki, nhà toán học đó sẽ trở thành thành viên mà không cần đến biểu quyết, bình duyệt, hay tiệc tùng. Xin được nhắc lại, Bourbaki có một quy định duy nhất, là không có bất cứ quy định nào cả, ngoại trừ việc nghỉ hưu ở tuổi 50. Để kết thúc, tôi xin trả lời ý kiến phê bình Bourbaki của một số người. Bourbaki bị buộc tội làm cạn kiệt nghiên cứu khoa học. Phải thừa nhận là tôi hoàn toàn không hiểu sự phê phán này, vì Bourbaki chưa bao giờ coi tác phẩm của mình là để thúc đẩy nghiên cứu khoa học. Tôi nhắc lại rằng Bourbaki chỉ cho phép bản thân viết về những lý thuyết đã thành cổ điển, những lý thuyết chết, những đề tài được giải quyết triệt để và chỉ cần sắp xếp lại (tất nhiên vẫn phải tính đến những ngoại lệ). Đúng ra không thể gọi bất cứ thứ gì trong toán là “đã chết”, vì một ngày sau khi ta tuyên bố như thế, một người nào đó có thể nghiền ngẫm lý thuyết này và tìm ra một ý tưởng mới làm nó hồi sinh. Để chặt chẽ hơn, Bourbaki đề cập đến những lý thuyết đã thành cổ điển ở thời điểm soạn thảo cuốn sách – những lý thuyết tuy có thể quan trọng và then chốt trong quá khứ, và có ứng dụng cho nhiều nghiên cứu khác nhau, nhưng suốt 10, 20, hay 50 qua không chứng kiến thêm một phát minh đáng kể nào. Những lý thuyết này không nhất thiết phải thúc đẩy nghiên cứu khoa học ở thời điểm hiện tại. Bourbaki quan tâm đến việc cung cấp tài liệu tham khảo và hỗ trợ những ai muốn hiểu những nguyên lý căn bản của một lý thuyết. Ví dụ Bourbaki muốn chỉ ra rằng khi làm việc với không gian vectơ tôpô, có ba, bốn định lý cần biết: Hahn-Banach, Banach-Steinhaus, đồ thị đóng; Bourbaki hỗ trợ việc tìm ra các kết quả đó. Nhưng không ai nghĩ đến việc phải cải thiện các định lý đó; người ta chấp nhận chúng như chúng vốn là, chúng vô cùng hữu ích (đây là điểm căn bản) vì thế chúng xuất hiện trong Bourbaki. Đây là điểm quan trọng với Bourbaki. Về điểm thúc đẩy nghiên cứu khoa học, nếu có những vấn đề mở trong một lý thuyết cũ, tất nhiên Bourbaki nhắc đến chúng nhưng đó không phải mục đích chính của chúng tôi.

Tôi nhắc lại, mục đích chính là cung cấp công cụ làm việc, không phải là phát biểu hùng hồn về những vấn đề mở của toán học đương đại, vì những vấn đề mở này nói chung vượt ra khỏi phạm vi hoạt động của Bourbaki. Chúng thuộc về toán học đang vận động nhưng Bourbaki không viết về toán học đang vận động. Chúng tôi không thể viết về một thứ thay đổi từng năm. Dùng phương pháp của Bourbaki, làm việc tám đến mười năm cho một cuốn sách, nếu chúng tôi viết về toán học đang vận động, thì không khó để tưởng tượng tác động của cuốn sách đó sau năm thứ mười hai. Cuốn sách sẽhoàn toàn v ô dụng. Chúng tôi sẽ phải liên tục viết lại cuốn sách, và công trình của chúng tôi sẽ không bao giờ hoàn thành được, giống như cuốn Bách khoa toàn thư toán học cũ.

Posted in Tản mạn, Toán học thường thức | Leave a comment

Một số kì thi tại Hà Lan

Khoa toán Leiden giới thiệu cho mình lớp training các kì thi olympiad. Năm nay Daan phụ trách huấn luyện, mỗi tuần gặp nhau một lần nhưng vì covid 19 nên các buỗi gặp mặt phải hủy bỏ. Tháng 7, Daan giới thiệu cho mình 2 cuộc thi, một là CACTUS, cái còn lại là IMC.

CACTUS là kì thi truyền thống của Hà Lan, chuyên về tổ hợp. Mình nhắn tin cho Dirk-ban tổ chức kì thi-thì cậu ấy nói rằng mình là người đầu tiên không nói tiếng Hà Lan tham gia kì thi này. Thế là năm nay đề có thêm một phiên bản tiếng anh. Phải nói rằng phong cách tổ chức cũng như đề thi nhẹ nhàng và mang tính chất giao lưu, mình rất thích thi cử kiểu này. Mọi người có thể tham khảo đề và đáp án tại link. Ngày trước, tổ hợp là nỗi ác mộng của mình vì mình thấy nó rất mẹo mực và đòi hỏi nhiều trí thông minh. Khi lớn dần lên, nhìn ở một góc độ khác, các bài toán kiểu này rất gần gũi và đem lại nhiều ý tưởng cùng niềm vui.

IMC là kì thi thường niên dành cho sinh viên từ 23 tuổi trở xuống, mỗi team gồm không quá 3 người và cần 1 người dẫn dắt, phần lớn các thí sinh đến từ châu Âu, Mỹ và một số nước châu Á. Năm nay ghi nhận kỉ lục khi có đến 560 thí sinh đến từ 46 quốc gia và hơn 130 trường đại học. Hằng năm, kì thi được tổ chức tại Bulgari, năm nay diễn ra online. Các bài toán kì thi năm nay cũng mang đậm tinh thần olympiad, khó nhất có thể kể đến bài số 3, mình đã dành gần như cả ngày 1 để giải nhưng không ra. Mình nghĩ mình đã giải được 3 bài nhưng kết quả thì chỉ đúng bài đầu tiên và được hourable mention.

Một năm học dài và kì lạ đã qua, nhiều bài học, niềm vui và trải nghiệm.

Posted in Bài viết của tôi, Tản mạn | Leave a comment

Các forum về toán

  1. Mathscope: Một diễn đàn toán học chuyên về các bài toán phổ thông, olympiad. Các chuyên đề của diễn đàn rất thú vị và bổ ích với các bạn học toán phổ thông.
  2. Diendantoanhoc: Diễn đàn toán học với các chuyên mục trải dài từ trung học cơ sở cho đến trung học phổ thông và cả đại học.
  3. Art of problem solving: Diễn đàn toán học thế giới, chủ yếu dành cho luyện thi olympiad.
  4. Mathstackexchange: Diễn đàn trao đổi toán chủ yếu cho sinh viên.
  5. Mathoverflow: Diễn đàn trao đổi chủ yếu cho các nhà toán học.
  6. Reddit hoặc Reddit: Diễn bàn chuyện trò, thảo luận về các vấn đề toán học.
  7. Quora: Như Reddit, là nơi thường để tán gẫu và nói về các vấn đề chung chung.
Posted in Bài viết của tôi, Tản mạn | Leave a comment

Một số trang web về toán học

  1. MathWikipedia: Trang web nổi tiếng với nguồn dữ liệu khổng lồ, các chuyên mục đưa ra cái nhìn chung nhất đối với các nhánh trong toán học.
  2. Quantamagazine: Tạp chí toán học đại chúng, các bài viết về các vấn đề thời sự dưới ngôn ngữ đễ hiểu và đơn giản.
  3. Medium: Các bài viết trong chuyên mục Cantor’s Paradise nhằm đưa người đọc tiếp cận với toán học từ sơ cấp đến cao cấp.
  4. Nature: Trang web nổi tiếng về tự nhiên nói chung.
  5. AMS: Trang của hội toán học Mỹ gồm nhiều website khác.
Posted in Bài viết của tôi, Toán học thường thức | Leave a comment