Cấu trúc ngưng tụ hay công cụ kính lúp

Tiếp tục ý tưởng của bài trước, ta tổng quát và hình thức hóa quan sát không gian tô pô compact Hausdorff có thể xem là một hàm tử bằng cách xét tập hợp các ánh xạ liên tục vào không gian này. Ở đây chúng ta sẽ phải chú ý đến lực lượng của các không gian tô pô nguồn, chúng phải thỏa mãn điều kiện mà Clausen và Scholze gọi là lực lượng giới hạn lớn không đếm được (uncountable strong limit cardinal) để cho phạm trù nguồn trở thành phạm trù nhỏ (small category).

Một tập hợp/nhóm/vành.. ngưng tụ là một bó (sheaf) đi từ phạm trù các không gian tô pô profinite (thỏa mãn điều kiện lực lượng nêu trên) vào phạm trù tập hợp/nhóm/vành.. Nghĩa là ngưng tụ được hiểu như là một kiểu hội tụ lỏng hơn, hội tụ theo các mối quan hệ (inverse limit) không còn cứng theo nghĩa bị giới hạn bởi khoảng cách trong không gian.

Định nghĩa tương đương với việc đó là một bó đi từ *_pro-etale vào phạm trù tập hợp/nhóm/vành.., trong đó:

Định nghĩa: Một mạng lưới (site) pro – étale của một điểm (kí hiệu *_pro-etale) bao gồm

a) phạm trù các tâp pro-finite

b) phủ là những họ hữu hạn các ánh xạ toàn ánh đồng thời (jointly surjective).

Pro-etale được xem như một tổng quát hóa của etale site, được đưa ra bởi Bhatt và Scholze vài năm trước đây nhằm xây dựng các đối đồng điều tốt hơn cho hình học p-adic, như cách mà Grothendieck đã làm với đối đồng điều etale.

Điểm đặc biệt trong lý thuyết của ngưng tụ đó là dù định nghĩa ban đầu của của Clausen và Scholze trên phạm trù các tập profinite, phạm trù các tập ngưng tụ sẽ tương đương với phạm trù các bó định nghĩa trên không gian to po compact Hausdorff, cũng như phạm trù các bó định nghĩa trên không gian to po extremally disconnected. Điều này đến từ việc với mọi không gian compact Hausdorff S, đều tồn tại một tập profinite S’ cùng với toàn ánh S’ -> S. Chẳng hạn như [0,1] có một toàn ánh từ N{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}∏N{0,1,2,3,4,5,6,7, bằng cách viết các số dưới dạng thập phân. Hoặc hình thức hơn, ta có thể lấy S’ là Stone-Cech compactification của S_disc (tập S với topo rời rạc). Người ta chứng minh được rằng không gian Stone-Cech này là extremally disconnected. Điều này rất hữu ích vì nhờ đó mà ta có thể chứng minh được phạm trù các nhóm abel ngưng tụ Cond(Ab) là giao hoán, chúng thỏa mãn hoàn toàn các tiên đề của Grothendieck. Về mặt phạm trù, Cond(Ab) không khác gì nhóm abel Ab. Trong thực hành, ít khi nào ta dùng thẳng được các định nghĩa. Để chứng minh một điều gì đó trong thế giới ngưng tụ, thường thì hoặc là chúng ta xem xét các không gian hữu hạn và chuyển qua inverse limit, hoặc là ta sẽ xét các tập extremally disconnected.

Ngoài ra còn có một cách tiếp cận định nghĩa của các cấu trúc ngưng tụ bằng Monad, một cấu trúc nhằm đại số hóa mọi thứ trong toán học. Tôi sẽ viết về định nghĩa này vào blog tiếp theo, rất thú vị.

Để kết thúc, tôi lấy thêm 1 ví dụ không tầm thường trong tô pô. Vì các số hữu tỉ trù mật trong tập các số tự nhiên cho nên không gian tô pô thương R/Q là tầm thường (trivial hay indiscrete), nghĩa là chỉ có 2 tập mở là toàn bộ không gian R/Q và tập rỗng. Theo Scholze, điều này có nghĩa khái niệm topo chỉ cho ta hiểu được những điểm có khoảng cách đủ xa. Nhưng trong nhiều trường hợp, đôi khi các điểm vì quá gần nên không còn phân biệt được về mặt tô pô, như trong trường hợp R/Q. Nôm na, ta xem hàng xóm của người cũng là hàng xóm của mình. Các tập ngưng tụ giúp cho ta có được “R/Q” không tầm thường, phân biệt được cái mà Scholze nói là gần vô hạn (infinitely near, but distinct).

“Mà trong lẽ phải có người có ta”
-Nguyễn Du

Posted in Bài viết của tôi | Leave a comment

Nghiệm của hàm phi Euler

100 năm giả thuyết của Carmichael về nghiệm của hàm phi Euler.

Các nghiên cứu về số học vẫn luôn là đề tài được yêu thích, và là nguồn cảm hứng cho rất nhiều nhà toán học cho đến ngày nay. Đôi khi nghe tin một giả thuyết hay một bài toán có thể phát biểu sơ cấp được chứng minh, trong lòng tôi lại thấy một sự thích thú rất lạ.

Hàm phi của Euler đếm số các số nguyên tố cùng nhau, một giả thuyết của Carmichael phát biểu rằng: Cho trước một số n, phương trình φ(x)=nφ(x)=n vô nghiệm hoặc có ít nhất 2 nghiệm. Một điều thú vị là, Carmichael đưa ra chứng minh cho giả thuyết của mình vào 15 năm trước đó, mọi người không nghi ngờ gì vào lập luận của ông. Nhiều năm sau, bằng những quan sát phản chứng ông phát hiện ra lỗi và biết báo cáo vào năm 1922. Đến nay đây vẫn là giả thuyết chưa được chứng minh hoàn toàn. Bào cáo cách đây 100 năm của Carmichael chỉ dài 2 trang, gồm 2 tính chất thú vị như sau.

Giả sử tồn tại số n sao cho phương trình φ(x)=nchch chỉ có duy nhất nghiệm. Bằng định nghĩa của hàm Euler ta có ngay x phải chia hết cho 4, đặt x=4s. Tính chất quan trọng mà Carmichael đưa ra là: nếu s chia hết cho một số nguyên tố dạng 2^k+1 thì chúng sẽ chia hết cho (2^k+1)^2. Chứng minh hoàn toàn sơ cấp. Điều này dẫn đến nếu s chia hết cho 3^3 thì nó phải có ít nhất 41 chữ số, còn nếu không thì cũng phải có ít nhất 38 chữ số. Rất thú vị!

Carl Pomerance cũng cho một điều kiện đủ đối với n để cho cho phương trình trên chỉ có 1 nghiệm. Số n tồn tại nếu thỏa mãn tính chất: mọi ước nguyên tố p của n sao cho p-1 là ước của φ(n)φ(n)thì p^2 cũng là ước của n. Một cách đáng ngạc nhiên, phương trình φ(x)=nφ(x)=ncó thể có số nghiệm tùy ý, là 2,3,4,5,…. miễn là lớn hơn 1, điều này được chứng minh bởi Kevin Ford 1999. Nghĩa là hàm phi gần như cho ta một song anh từ N vào N.

Nhưng có vẻ phương trình chỉ không thể có duy nhất nghiệm.

Posted in Bài viết của tôi, Số học, Toán học thường thức | Leave a comment

Bạn có thể nghe được hình dạng của cái trống không?

Bài viết kỷ niệm 111 năm định luật Weyl.

Đúng rồi, nghe được chứ không phải thấy được.

Liệu chúng ta có thể xác định được hình dáng của một vật bằng cách chỉ nghe âm thanh mà chúng phát ra? Như một sự đối ngẫu nghe-nhìn, ta có thể thay thế hoàn toàn giác quan này bằng giác quan kia được hay không? Trên thực tế, một số người khiếm thị rèn luyện được khà năng đặc biệt là họ có thể mô tả được không gian mà họ bước vào. Câu hỏi trên là nhan đề của một bài báo nổi tiếng của Kac trên American Mathematical Monthly vào năm 1966, có lẽ Schuster đã đưa ra nó trước đó vào năm 1882.

Đây là một câu hỏi toán học nếu ta biết tần số âm thanh phát ra là trị riêng của toán tử Laplace. Xem mặt trống là một mặt compact Riemann, trị riêng của toán tử này tác động lên mặt trống là một dãy số vô hạn, chẳng hạn kí hiệu là {W_n}. Vấn đề này có thể hiểu tương tự như các bài toán nội suy, yêu cầu tìm hàm số khi biết một số giá trị của hàm. Chẳng hạn như nội suy của Fourier có thể trả lời câu hỏi ấy với các hàm lượng giác. Rất tiếc, điều này không đúng với tri riêng Laplace và mặt Riemann, được chỉ ra bởi Gordon, Web and Wolpert năm 1992.

Nhưng chúng ta vẫn có thể có một số thông tin bổ ích về hình học từ các giá trị này. Kết quả đầu tiên có thể kể đến là công trình của Weyl cách đây 111 năm, cho phép ta biết được cách dãy W_n này tăng thế nào. Công trình này xuất phát từ một khóa giảng của Lorentz, giải Nobel vật lý người Hà Lan, vào năm 1910. Ông đưa ra giả thuyết rằng số trị riêng nhỏ hơn một số tự nhiên k cho trước sẽ xấp xỉ {k nhân cho diện tích} khi k đủ lớn (ta có thể thử so sánh với định lý phân bố số nguyên tố). Hilbert cũng đã dự bài giảng ấy, và ông đùa rằng chắc mình sẽ không sống đủ thọ để thấy được chứng minh. Và Hilbert đã sống đến năm 1943. Weyl đưa ra chứng minh sau đó không lâu bằng chính lý thuyết tích phân của Hilbert. Đặc biệt, ta cũng có thể chỉ ra rằng W_n tăng như n khi n đủ lớn. Điều này rất có ích khi ta nghiên cứu L-hàm ứng với dãy trị riêng, như các Riemann đã làm với số nguyên dương.

Ϲái trống trường em
Tròn như quả hoa đất
Tiếng trống rền vang
Giục em đến lớp.

Posted in Bài viết của tôi, Toán học thường thức | Leave a comment

Toán học ngưng tụ hay ngưng tụ toán học

Bài viết kỷ niệm 200 năm (+epsilon) khái niệm epsilon-delta của Cauchy ra đời.

Năm 2019, Dustin Clausen và Peter Scholze đưa ra một dự án đột phá mang tên toán học ngưng tụ (condensed mathematics). Điều này làm tôi liên tưởng (và muốn so sánh) đến toán học hội tụ mà chúng ta được học ở trường.

Đây là bài viết mở đầu trong chuỗi bài nhằm đúc kết một số kiến thức, đồng thời kỷ niệm và tưởng nhớ đến những nhà toán học cùng các công trình của họ. Về mặt dịch thuật, từ ngưng tụ có thể thiếu chính xác, condensed (nên) có thể được hiểu là cô đặc. Trong các khái niệm được đưa ra bởi 2 tác giả, họ cũng dùng nhiều từ liên quan đến các trạng thái như rắn (solid) hay lỏng (liquid). Tuy nhiên tôi có một hình dung rằng khái niệm hội tụ như một màn sương dày đặc, các điểm rất gần nhau và khó phân biệt, còn ngưng tụ khiến chúng đọng lại thành những giọt sương tách rời dễ quan sát. Tôi sẽ cố gắng làm rõ hơn ý tưởng này bằng bài viết dưới đây và những bài tiếp theo.

Ý tưởng chính của hai nhà toán học là thay thế không gian tô-pô, lý thuyết được phát triển để hình học hóa các khái niệm hội tụ, bằng không gian ngưng tụ. Một trong các lý do người ta muốn cải tiến không gian tô-pô vì chúng trở nên khó làm việc khi ta thêm vào đó các cấu trúc đại số như nhóm/vành/ module.. Chẳng hạn, xét ví dụ kinh điểm sau: gọi (R,disc) là tập các số thực được trang bị tô-pô rời rạc, (R,nat) là tập các số thực với tô-pô Euclide thông thường. Khi đó, về mặt tập hợp (bỏ qua các cấu trúc khác) thì hai tập này như nhau, ánh xạ đồng nhất id: (R,disc) -> (R,nat) là song ánh. Ta cũng có hạch (kernel) và đối hạch (cokernel) đều bằng 0. Vấn đề xảy ra khi ta xét chúng như nhóm tô-pô, lúc này ánh xạ id không là đẳng cấu.

Nói theo ngôn ngữ hiện đại thì ánh xạ id trong trường hợp này không bình thường (normal), cao cấp hơn thì ta nói các nhóm tô-pô giao hoán không tạo thành một phạm trù giao hoán. Cách mà Clausen và Scholze giải quyết là nhúng phạm trù các nhóm tô-pô này vào một phạm trù lớn hơn, mà ở đó kernel hoặc cokernel sẽ khác 0. Như ý tưởng quen thuộc trong lý thuyết phạm trù, đặc biệt trong bổ để Yoneda, thay vì xét tập hợp, hai nhà toán học xem xét các ánh xạ vào tập hợp đó. Họ tránh khái niệm lân cận trong không gian, thay vào đó họ xét các mối quan hệ của chúng với những không gian khác. Cụ thể hơn, ta cho (R,disc) và (R,nat) ứng với hàm tử Hom của chúng: Hom_cts(–,(R,disc)) và Hom_cts(–,(R,nat)) (các ánh xạ liên tục từ không gian compact Hausdorff vào lần lượt (R,disc) và (R,nat)). Dễ thấy, với S là một tập compact Hausdorff thì Hom_cts(S,(R,disc)) là các hàm hằng địa phương, nên Hom_cts(S,(R,disc))-> Hom_cts(S,(R,nat)) là một đơn ánh với cokernel là

Cokernel(S)= {tập hàm số liên tục S -> (R,nat)}/{tập hàm hằng địa phương trên S}

Dễ thấy Cokernel(S) khác 0, cho nên ta không còn băn khoăn về sự khác biệt của (R,disc) và (R,nat) nếu xét trong phạm trù ngưng tụ nữa. Tương tự, mỗi tập compact và Hausdorff X, ta xét hàm tử

CondX: {phạm trù các tập compact Hausdorff}^op -> {phạm trù tập hợp}

gửi mỗi tập compact Hausdorff S thành Hom_cts(S,X) là tập các ánh xạ liên tục từ S vào X. Ý tưởng của Clausen và Scholze mang tư tưởng hàm tử hóa toán học của Grothendieck. Khi đó, các tập này vẫn giữ được cấu trúc tô-pô nhưng về mặt phạm trù thì lại giống phạm trù tập hợp. Cụ thể hơn, ta có thể đặt lên phạm trù ngưng tụ này các cấu trúc đại số như nhóm/vành/.., và phạm trù ta thu được cũng đều sẽ thỏa mãn các tính chất của một phạm trù nhóm/vành/.., điều này giúp cho các tính toán liên quan đến đại số đồng điều rất hữu dụng.

Ngưng tụ là một hình thức chuyển trạng thái của vật chất, dự án tham vọng này có vẻ sẽ đem tới một diện mạo mới cho toán học hiện đại. Phải mất 150 để Cauchy đưa ra một phát biểu chặt chẽ cho lý thuyết hội tụ được phát minh bởi Newton và Leibniz. Và 100 năm sau Cauchy, Hausdorff dùng tô-pô hình học hóa những chữ cái để nói về khoảng cách. Sau đó là những phát kiến của Grothendieck cùng những nỗ lực không ngừng của các nhà toán học tài ba khắp nơi trên thế giới. 100 năm sau Hausdorff, tôi mong cùng bạn khám phá những điều đẹp đẽ này, như cùng lặng ngắm những giọt sương mai.

Posted in Bài viết của tôi, Toán học thường thức | Leave a comment

L-hàm hay LoT

Hàm zeta của Riemann cho phép ta tính các tổng/tích, không hội tụ theo nghĩa Cauchy, có một giá trị hợp lý bằng giải tích phức. Chẳng hạn, 1+2+3+….=-1/12 là giá trị của hàm Zeta tại -1. Các L-hàm là tổng quát hóa của hàm zeta theo nghĩa thêm một trọng số hay đặc tính (character) cho từng số hạng. Xem các số hạng như những anh hùng trong bảng phong thần, tùy theo công lao của từng vị mà được ban các danh hiệu lớn nhỏ khác nhau. Khi đó, tổng công lao của Khương Tử Nha, Lý Tịnh, Na Tra,… được tính bằng L(-1). Nên là bao nhiêu nhỉ?

Sự xuất hiện rộng rãi của L-hàm trong nhiều ngành của toán học có thể được so sánh như các con chip intel có mặt ở hầu hết mọi loại máy tính hay điện thoại trên thế giới. Thật vậy, bạn có thể bắt đầu với vật thể hay đối tượng bất kỳ nào mà mình yêu thích, đơn giản ta lấy một chuỗi số hay một toán tử tuyến tính. Có một vài bất biến mà bạn có thể tính toán xem như là inputs (thường là các bất biến rời rạc), chẳng hạn hệ số của một chuỗi hay trị riêng của một toán tử, giả sử ta đặt chúng lần lượt là a_1,a_2,a_3,..a_n,… Theo một nghĩa nào đó, các L-hàm là một bất biến (liên tục) của đối tượng mà ta muốn khảo sát. Giả sử rằng các bất biến đơn giàn mà ta tính được tăng không quá nhanh, sự thay đổi dễ kiểm soát như các đa thức theo n, người ta có thể định nghĩa L-hàm theo biến s (biến phức) với công thức: L(s)= tổng của a_n/s^n, tương tự công thức hàm sinh (generating function) trong các bài toán tổ hợp. Định nghĩa này được chứng minh là tốt bằng lý thuyết của biến đổi Mellin, từ đó cho phép chúng ta tính toán các giá trị của L-hàm tại một miền xác định. Dễ thấy điều này trong trường hợp hàm zeta Riemann. Tụy vậy, trong rất nhiều trường hợp việc kiểm soát được các đầu vào a_n là một trong những vấn đề khó nhất cũng như quan trọng nhất khi nghiên cứu L-hàm của một đối tượng. Chẳng hạn, đối với chuỗi số ứng với một dạng modular, Hecke đã chứng minh được các hệ số trong chuỗi này cũng thỏa mãn một chặn trên khi n đủ lớn nhờ vào việc xây dựng một lớp toán tử tuyến tính trong không gian các dạng modular. Còn đối với toán tử Laplace tác động lên đa tạp Riemann compact thì trị riêng của toán tử này là một input gương mẫu, vì chúng tuân theo luật Weyl. Đầu ra của các L-hàm cũng rất chuẩn mực. Các giá trị của L-hàm sau đó trả lại cho ta thêm nhiều thông tin thú vị của đối tượng. Ta có thể tính vết của một toán tử bằng cách gán nó cho giá trị của L(-1). Ta cũng có thể tính định thức của một toán tử Laplace bằng các L-hàm. Kinh điển hơn, giá trị của hàm zeta Dedekind liên hệ với các đại lượng số học như nhóm các lớp, hoặc regulator. Hay định lý modularity cho phép L-hàm làm chiếc cầu nối giữa đường cong elliptic và dạng modular.

Sau khi đã được xác định trên một miền, người ta mong muốn mở rộng miền này lên toàn bộ mặt phẳng, và xác định phương trình hàm của chúng. Các giá trị khó tính toán nhất sau đó có thể dễ dàng tính toán được bằng phương trình hàm này. Tính thác triển của hàm zeta trong trường hợp Riemann là rất kinh điển, việc hiểu một L-hàm như là một tích phân cho ta cách tiếp cận đồng bộ và tổng quát hơn đối với vấn đề. Trong trường hợp L-hàm ứng với toán tử Laplace, tính thác triển được chứng minh nhờ các kết quả trong phương trình nhiệt. Cho đến nay, tính thác triển của L-hàm ứng với đường cong elliptic chỉ có thể được chứng minh nhờ định lý modularity. Bên cạnh giả thuyết của Riemann về không điểm của hàm zeta, những câu hỏi liên quan đến giá trị của các L-hàm, chẳng hạn như giả thuyết của Birch và Swinnerton-Dyer hay của Bellinson và Bloch cùng Kato, được nghiên cứu rất rộng rãi. Đặc biệt các giá trị này liên hệ với các đại lượng số học hay hình học một cách vô cùng sâu sắc.

LoT!

Posted in Bài viết của tôi, Toán học thường thức | Leave a comment

Topology hay Sociology

Có bạn hỏi tôi là kiến thức toán học ở đại học khác gì với phổ thông, ở mức độ nào thì có sự chuyển biến hiểu biết mà không thể thấy ở các cấp độ dưới. Một câu hỏi mà chính tôi cũng đã luôn tự hỏi mình. Liệu rằng đó là nội dung toán học đã/đang thay đổi thế giới quan của mình, hay là khi gặp một điều mà ta biết mình rằng ta sẽ theo đuổi nó, hay khi đủ chính chắn để nhìn ra sự tiềm tàng vốn có của một lý thuyết ẩn dấu nơi thực tại. Đâu mới là điểm chuyển biến mà chưa bao giờ có được?

Những năm đầu đại học tôi không có nhiều quan tâm đến đại số. Những gì tôi biết hầu như chỉ là những điều còn sót lại ở trường chuyên và một ít giải tích. Tôi đã không đủ chú tâm để nhận ra lúc nào thì toán học bắt đầu phân hóa thành mức khác hẳn thời phổ thông. Các khái niệm nhóm vành trường có lẽ mang lại một cấu trúc tổng quát hơn khi nói đến những tập hợp đã được biết, nhưng vì lúc đó chưa dành đủ sự tập trung nên tôi chỉ đơn thuần xem đó là những định nghĩa bao trùm của các loại số cơ bản (N, Z, R). Lý thuyết mở rộng trường (mà đến năm thứ 3 tôi mới biết) có thể xem là một ví dụ thú vị khi nói về các ý tưởng rất tự nhiên nhưng rất khó khám phá ra của toán học. Những môn vi tích phân khiến tôi cảm giác như mình vẫn đang tính toán nguyên hàm như thời ôn thi tốt nghiệp. Còn lý thuyết độ đo tuy rất thiết thực và đặc sắc theo một nghĩa nào đó, lại ám ảnh tôi một cách dai dẳng. Tôi có hứng thú hơn cả với giải tích hàm, không biết vì sao. Đã có thời tôi say mê đọc cuốn Brezis như Forrest Gump mê chạy.

Đối với cá nhân tôi lúc ấy, điểm khác biệt đầu tiên xuất phát từ ý niệm Topo. Khi người ta xem hình tròn và hình ellip, hay cái bánh donut và chiếc cốc uống cà phê là giống nhau về mặt Topo. Nhưng tất nhiên, tôi không bắt đầu học Topo vì những điều lý thú đó, mà vì giải tích hàm cần nó. Giải tích hàm trong cuốn Brezis cần một khái niệm đó là topo yếu, phục vụ cho việc thiết lập điều kiện hội tụ yếu và định nghĩa nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng. Đối với tôi lúc bấy giờ, đó là một ý tưởng vô cùng đột phá, một cấu trúc mà ở đó bảo đảm mọi hàm số bạn muốn đều liên tục. Với Topo, tính liên lục được hình học hóa bởi khái niệm tập mở (đóng), không còn đặt nặng tính hình thức bởi các kí hiệu epsilon-delta. Chúng ta có nhiều cách để nói về khoảng cách hơn, thay vì chỉ đưa ra một con số chính xác. Topo có thể xem như một phiên bản tương đối (relative) của giải tích. Khi viết bài này tôi chợt nhớ lại những kỉ niệm nhiều năm về trước, tồn tại một lân cận bao gồm những sự việc lúc đó với những gì tôi đang quan tâm lúc này. Bạn có thể nói blog của tôi có một Topo kí ức, có vẻ rời rạc. Tôi may mắn vì Thầy Vũ đã viết cuốn giáo trình Topo rất hay. Tôi mê cách dạy của Thầy, và mang ơn Thầy.

Trở lại với các khái niệm Topo trong toán học. Sự linh hoạt trong cách định nghĩa thế nào là khoảng cách (các tập mở) khiến cho các ý niệm hội tụ, liên tục thông thoáng hơn và phục vụ được nhiều mục đích hơn. Chúng ta có thể hình dung không gian mà ta đang sống (khu dân cư, phường xã,..) mà mỗi điểm trên đó là một ngôi nhà, hàng xóm lân cận ngôi nhà tạo thành một tập mở. Để cho một dãy hội tụ về duy nhất một điểm ta cần những lân cận của 2 điểm khác nhau phải tách nhau ra, người ta gọi những không gian như vậy là Hausdorff theo tên một nhà toán học. Mọi ngôi nhà nên có các hàng xóm đủ thân thiết so với phần còn lại thì những người bằng hữu thân thuộc ấy sẽ chỉ hướng về 1 ngôi nhà. Một khu dân cư nên chỉ có hữu hạn các dãy nhà hoặc khu phố, như thế mới dễ kiểm soát. Ta gọi những khu vực ít xóm làng như thế là compact. Các khu dân cư compact vì ít xóm làng nên ta có thể xây các hàng rào ngăn lại, hàng rào tạo thành đường biên, khi đó khu dân cư đóng và bị chặn. Thường thì để người dân xung quanh cởi mở hơn, một khu dân cư có thể kết nối với nhau, người ta gọi đó là liên thông. Tùy vào mức độ thân mật giữa người trong khu mà ta có liên thông đường hoặc mạnh hơn là đơn liên, nghĩa là mọi người sống quây quần thành vòng tròn.

Đối tượng cơ bản trong Topo là số “lỗ” của vật thể, như chiếc giếng trong mỗi khu nhà. Đếm số lỗ trên vật thể có thể giúp chúng ta phân biệt được chiếc áo thun và chiếc quần jean. Tuy nhiên, một sự thật đó là, các nhà Topo học sẽ không phân biệt quả bóng và khối rubik, tức là hình cầu và khối lập phương dù cho hình dáng chúng là khác nhau. Những căn chung cư ở thành phố dùng nước máy sẽ giống nhau hơn những nhà ở quê. Hoặc một ví dụ kinh điển hơn đó là bề mặt chiếc cốc cà phê (có 1 quai) và chiếc bánh donut là như nhau. Liệu mình có thể cầm donut uống cafe được không? Khác với các nhà hình học, ở Topo cho phép các vật thể co dãn linh hoạt, chỉ cần không đứt gãy hay bị cắt xén, thì các vật đó được xem như nhau.

Nhà toán học Euler đã phát hiện ra một công thức tuyệt với cho các đa diện lồi ( các vật thể như khối rubik, kim tự tháp, ..) đó là

Số mặt – số cạnh + số điểm = 2

Ví dụ, với khối rubik ta có số Euler là 6-12+8=2, hay với kim tự tháp là 5-8+5=2

Và một điều đáng ngạc nhiên đó là công thức trên chỉ phụ thuộc vào Topo của vật, cho nên được gọi là một bất biến Topo. Nghĩa là 2 vật giống nhau theo nghĩa topo thì sẽ có cùng công thức trên. Chẳng hạn, kim tự tháp kéo dãn ra tứ phía sẽ thu được hình lập phương tương tự khối rubik; cho nên chúng có cùng công thức Euler. Tuy nhiên, nếu ta khoét một lỗ ở khối rubik, thì lúc này topo của vật đã bị thay đổi, khi đó: số mặt – số cạnh + số điểm = 16-32+16 =0.

Sau Euler, nhà toán Riemann nghiên cứu các bề mặt xuất phát từ giải tích phức. Ông đã khám phá một cách để đếm số lỗ, nôm na đó là đếm xem chúng ta có thể cắt bề mặt bao nhiêu lần nhưng vẫn không khiến chúng bị tách thành 2 mảnh. Ví dụ, chúng ta chỉ có thể cắt bề mặt ống hình trụ 1 lần, dọc theo chiều dài của ống, cho nên hình trụ có số lỗ là 1. Đối với bề mặt của torus ( bánh donut) thì chúng ta phải cắt 2 lần, lần đầu cắt quanh chiếc bánh theo vòng tròn, ta thu được một hình trụ, cho nên số lỗ của của bánh donut là 2.

Còn vô số bất biến Topo khác nữa. Và mỗi lúc các bất biết lại càng phức tạp và sâu sắc. Không chỉ nhìn vào cái giếng của mỗi căn hộ, các nhà toán học với óc tưởng tượng siêu đẳng luôn quan tâm đến nhiều ngóc ngách hơn. Những thay đổi dù là nhỏ nhất đều được phát hiệt, còn bản thân họ giữ lại những gì không đổi.

Posted in Bài viết của tôi, Tản mạn, topology | Leave a comment

Định đề Bertrand

Một định lý rất đẹp trong số học mà tôi ấn tượng kể từ thời còn học phổ thông phát biểu rằng:

Với mọi số nguyên dương n>1 thì ở giữa n và 2n luôn có ít nhất 1 số nguyên tố.

Bertrand đưa ra phỏng đoán này vào năm 1845, được chứng minh bởi Chebyshev sau đó khoảng 5 năm. Chứng minh nổi tiếng và phổ biến ( vì sơ cấp!?) nhất là của Paul Erdos khi ông chỉ mới 19 tuổi. Chứng minh của Erdos cho ta một đánh giá về số lượng số nguyên tố nhỏ hơn một số $n$ cho trước. Các đánh giá như thế đã được biết từ cuối thế kỷ 19 nhờ các công trình của Hardamard và Vallee-Poussin về định lý phân bổ số nguyên tố.

Gần đây, một cậu bé 17 tuổi tên Daniel Larsen gây xôn xao trong giới toán học khi chứng minh định đề Bertrand cho các số giả nguyên tố hay còn được gọi là số Carmichael. Các số giả nguyên tố là các số thỏa mãn định lý Fermat nhỏ. Điều này khiến cho các số Carmichael sở hữu các tính chất như số nguyên tố. Vào năm 1994, ba nhà toán học W. R. (Red) Alford, Andrew Granville và Carl Pomerance đã khẳng định rằng các số giả nguyên tố cũng vô hạn như số nguyên tố. Thậm chí, ta còn biết được có vô hạn số giả nguyên tố có dạng a+mk, tương tự như định lý Dirichlet đối với số nguyên tố. Chứng minh của Larsen dựa trên những đột phá mới trong lý thuyết số giải tích của Yitang Zhang and James Maynard (giải Fields 2022).aa<span class=”MathJax” id=”MathJax-Element-57-Frame” tabindex=”0″ data-mathml=”a+mk” role=”presentation” style=”position: relative;”>a+mka+mk

Nhờ vào kết quả này mà Larsen được xem như một Erdos hay Gauss mới của thế kỷ 21. Kết quả này không chỉ mang lại tiếng vang cho Larsen trong cộng đồng toán học mà còn đem về cho cậu giải thưởng Regeneron. Sẽ không quá bất ngờ (nhưng cũng không hề đánh giá thấp tài năng của cậu ấy) khi biết rằng bố mẹ cậu đều là những nhà toán học, người cậu ruột của Larsen là Elon Lindenstrauss, giải Fields năm 2010. Thậm chí ông bà ngoại của cậu cũng là các nhà toán học nổi tiếng.

Posted in Bài viết của tôi, Số học | Leave a comment

Trang Web

Tôi duy trì một trang web để thông báo các hoạt động trong tương lai.

https://www.khaihoanmath.org/

Posted in Uncategorized | Leave a comment

10 bước và 3 phẩm chất quan trọng trong nghiên cứu khoa học

Trích dẫn từ bài báo cùng tên.

3 PHẨM CHẤT QUAN TRỌNG

GS. Ngô Bảo Châu chia sẻ rằng cuộc đời khoa học của anh được may mắn có môi trường giáo dục tốt, chính bởi vậy phẩm chất trong nghiên cứu khoa học cần phải được đặt lên hàng đầu. Anh chia sẻ, một công trình khoa học cần có là 3 phẩm chất theo thứ tự: Đúng và trung thực, mới và hay. Nhưng quan trọng nhất là đúng và trung thực.

Bên cạnh đó, GS. Ngô Bảo Châu nói rằng, làm khoa học và nghiên cứu khoa học phải xác định tìm cái gì mới, tìm hướng đi mới, không lặp lại. Ở nhiều lĩnh vực, phương pháp nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu, kết quả nghiên cứu phải mới. Với kết quả nghiên cứu mới sẽ được coi trọng nhất, thậm chí nếu trong trường hợp kết quả cũ thì cũng phải xem lại có được phương pháp mới để thuyết phục phương pháp này tới nhiều người khi áp dụng. Để hi vọng với phương pháp mới đó tác giả hoặc người khác có thể làm ra kết quả mới, vì bản thân phương pháp mới không được đánh giá và không được để ý đến, trừ khi chỉ tìm ra được kết quả mới. Mặt khác, cần phải đặc biệt coi trọng sự đánh giá của đồng nghiệp.

GS. Ngô Bảo Châu khẳng định, để có sự đánh giá chính xác, bài báo không quyết định, không cần phải chạy theo số lượng. Bên cạnh đó, chúng ta cần phải xác định cho mình những mục tiêu nghiên cứu ngắn hạn bên cạnh mục tiêu dài hạn. GS. Ngô Bảo Châu cũng cho biết, đến giờ khi có nhiều sinh viên vẫn cho rằng, khó nhất là tìm đề tài cho mình. Điều này càng khó hơn đối với nhà khoa học trẻ, vì bối cảnh khoa học hiện đại cạnh tranh rất quyết liệt. Bước khó khăn đối với nhà khoa học trẻ là có bước qua được khi làm khoa học tập sự độc lập hay không. GS. Ngô Bảo Châu gợi ý: “Ở các Hội thảo, tiếp xúc cá nhân là cơ hội lớn nhất cho các bạn trẻ tìm đề tài khoa học thỏa mãn tính thời sự. Những bài diễn giảng, trao đổi bên lề, các nhà khoa học sẽ cởi mở hơn nhiều và sẵn sàng chia sẻ việc họ đang làm và những khúc mắc trong quá trình nghiên cứu. Và đây là cơ hội để các bạn trẻ được tham gia vào những công trình lớn”.


QUY TRÌNH 10 BƯỚC


Theo GS. Ngô Bảo Châu, thực ra không có sách vở nào đúc kết các quy trình NCKH. Anh cho biết, tính chuyên nghiệp trong hoạt động khoa học phải thể hiện trước tiên ở quy trình nghiên cứu, điều này đặc biệt quan trọng đối với những nhà khoa học trẻ. Chủ nhân giải thưởng Fields chia sẻ, anh đã rất may mắn khi được học tập và trưởng thành tại những ngôi trường có truyền thống học tập và nghiên cứu, sớm được được những người thầy giỏi tận tình dẫn dắt trong nghiên cứu khoa học nên có điều kiện “sai đâu sửa đấy”. Các kĩ năng ấy dần “ngấm” và trở nên ngày càng thuần thục. Đối với những nước có nền khoa học tiên tiến, việc tuân thủ các quy trình nghiên cứu là điều tất yếu và là kĩ năng cơ bản, nhưng ở Việt Nam, có những người làm nghiên cứu đã bỏ quên hoặc chưa nhận thức đúng tầm quan trọng của việc tuân thủ những quy trình này.
GS. Ngô Bảo Châu đã đúc kết quy trình NCKH gồm 10 bước.

Thứ nhất, phải xác định được lĩnh vực nghiên cứu, có thể phụ thuộc vào khả năng chuyên môn. Một sinh viên hay người nghiên cứu mới vào nghề phải có người hướng dẫn. Cũng có trường hợp người đó có chuyên môn nhất định trong lĩnh vực khác với lĩnh vực anh ta lựa chọn. Nhưng cả 2 trường hợp đều phải có hành trang: có người hướng dẫn, xác định được hành trang để tự tin chứ không phải đi tay không đến “xứ sở” mới.

“Điểm xuất phát của nghiên cứu bắt đầu bằng câu hỏi. Thành công của nghiên cứu liên quan nhiều đến câu hỏi ban đầu. Để tìm ra câu hỏi đúng thì cần có kinh nghiệm nghiên cứu. Trong môi trường hiện đại, tính chuyên nghiệp cao, sinh viên tự xác định được cho mình những câu hỏi là việc khó vì chưa có kinh nghiệm, khó xác định đó có phải vấn đề thời sự không, có trong khả năng giải quyết không. Vấn đề trong khả năng giải quyết thì không còn thời sự, vấn đề thời sự thì nằm ngoài khả năng”, GS. Ngô Bảo Châu đưa ra một nghịch lí các nhà khoa học trẻ hay mắc phải.
GS. Ngô Bảo Châu cũng chia sẻ, cách nhanh nhất để xác định những vấn đề nóng hổi và không tưởng là phải tham gia các hội thảo khoa học. Bản thân anh vẫn thường xuyên tham gia hội thảo, nghe báo cáo của các đồng nghiệp để nắm vững các vấn đề khoa học, xem khoa học đang đi về đâu, xu hướng, vấn đề gì mấp mé mà sinh viên có thể làm được.

Thứ hai, sau phạm vi nghiên cứu, vấn đề, cơ hội, xác định câu hỏi thì những người làm nghiên cứu phải tập hợp tất cả những bài báo, công trình nghiên cứu khoa học để biết chính xác câu hỏi đã được giải quyết đến đâu. Không nên chọn những vấn đề quá khổ, quá khó hoặc không ai quan tâm nữa.

Thứ ba, phải đọc và xác định đâu là bài báo kinh điển, biết được tư tưởng quan trọng nằm ở đó, ai đã từng làm, làm đến đâu, sử dụng kĩ thuật gì. GS. Châu nói, cách đây 20 năm là khó, nhưng với internet hiện nay việc tập hợp thông tin là rất dễ. Tuy nhiên, có 1 việc không thay đổi nhưng đọc được không đơn giản. Lúc này cần môi trường khoa học, bạn bè cùng khám phá đề tài khoa học. Họ phải tự nguyện, phi vụ lợi và gắn kết mọi người với nhau. Khi cập nhật thông tin rồi phải biết hướng giải quyết, thường nằm ngay trong bài báo gần nhất. Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đương đại nhất, đó là hướng hiện thực nhất, khả thi nhất.

Thứ tư, việc lập kế hoạch không đơn thuần là về chuyên môn, nó còn là về mặt tài chính, phải có đội ngũ làm việc. Bước này mọi chuyện phải minh bạch.

Thứ năm, giải quyết. Làm khoa học là có rủi ro nhưng trong đầu người làm phải lường trước những khó khăn.

Thứ sáu, gói lại công việc. Ít khi thực hiện được 100%, đến 1 mức nào đó cần gói ghém lại, làm rõ những việc làm được và chưa làm được. Quan trọng trong đề tài là thực sự bàn về cái gì đó mới. Bước này cũng phải chỉ ra những cái chưa làm được. Đó là tiền đề cho khoa học tiếp theo.

Thứ bảy, viết bài báo khoa học. Kinh nghiệm của GS. Ngô Bảo Châu là chọn 2-3 bài báo cảm thấy chuẩn thì chép tay lại, sẽ hiểu phong cách trình bày bài báo như thế nào.

Thứ tám, viết xong có thể luân chuyển, gửi bạn bè, đồng nghiệp, xin ý kiến, trình bày ở hội nghị để nhận phản hồi. Sau đó viết lại bài báo.

Thứ chín, chỉnh sửa bài báo.

Thứ mười, gửi đến 1 tạp chí. Cần phải chọn tạp chí.

Posted in Tản mạn | Leave a comment

Toán học và công nghiệp

Nhóm nghiên cứu toán học trong công nghiệp tại Hà Lan tổ chức hội thảo hằng năm, tập hợp khoảng 50-80 nhà toán học nhằm giải quyết các bài toán thực tế mà các công ty đưa ra. Sáu công ty sẽ trình bày các vấn đề của họ vào ngày thứ hai, và trong vòng một tuần, những người tham gia sẽ dành thời gian để giải quyết chúng theo các nhóm nhỏ. Sau đó, các báo cáo sẽ được viết lại dưới dạng học thuật và dạng đại chúng ứng với các nhóm độc giả khác nhau.

Lấy cảm hứng từ một mô hình tương tự tại Oxford kể từ năm 1968, hoạt động này đã liên tục diễn ra trong vòng 20 năm. Có rất nhiều công ty lớn ở Hà Lan và toàn cầu đã đến đây, thể hiện uy tín của chương trình. Trên trang web của chương trình có thêm rất nhiều thông tin bổ ích.

Tham khảo: https://www.swi-wiskunde.nl/

Posted in Bài viết của tôi | Leave a comment