Bourbaki là tên một nhóm các nhà toán học xuất sắc tại Pháp, được thành lập giữa thập niên 30 nhằm mục đích viết những cuốn sách chuyên khảo về các chủ đề trung tâm của toán học. Nơi đây tạo nên những trường phái lớn và các hướng nghiên cứu chính của toán học hiện đại. Tôi rất thích bài báo của Arnold, một bài báo có xu hướng chỉ trích cách dạy toán theo lối Bourbaki, hướng đến lối học trực quan và thực tiễn hơn. Nhưng đồng thời, tôi lại rất thích cách làm toán và kiểu tư duy lớp lang của trường phái này. Ở đây, sư phạm và nghiên cứu toán có những khác biệt nhất định.
Dưới đây là bài báo “The work of Nicholas Bourbaki” của Jean Dieudonne, một trong những thành viên sáng lập Bourbaki, trình bày về triết lý của nhóm và quá trình hình thành một tác phẩm của Bourbaki. Bản dịch do dịch giả Lê Hồng Đăng lược dịch, đăng trên Thông tin Toán học tập 24 số 2.
Tác phẩm của Nicholas Bourbaki
Để hiểu xuất xứ của Bourbaki, chúng ta phải quay lại những năm sau Chiến tranh thế giới thứ nhất, khi tôi còn là sinh viên. Cuộc chiến này là một bi kịch lớn cho toán học Pháp. Tôi không phải quan tòa để phán xét hay rao giảng những bài học luân lý về những gì đã diễn ra trong cuộc chiến. Trong chiến tranh thế giới 1914-1918, chính phủ Đức và chính phủ Pháp có những chính sách khác nhau đối với lực lượng khoa học. Người Đức khuyến khích các nhà khoa học theo đuổi công việc của mình, và tận dụng những phát minh và sáng chế khoa học để nâng cao sức mạnh quân sự của quân đội Đức. Người Pháp, ít nhất là ở giai đoạn đầu cuộc chiến, nghĩ rằng phải động viên tất cả nhân lực cho chiến tranh; vì thế các nhà khoa học trẻ cũng phục vụ ở mặt trận như mọi người. Tinh thần bình đẳng và ái quốc đó đáng để ta khâm phục, nhưng hậu quả là rất nhiều nhà khoa học trẻ đã hy sinh. Lật lại hồ sơ thời chiến của Trường Sư phạm Paris, ta thấy những khoảng trống lớn vì có đến hai phần ba lực lượng nhập ngũ đã chết trong cuộc chiến. Tình thế này ảnh hưởng nặng nề đến toán học Pháp. Chưa đủ tuổi nhập ngũ trong thế chiến, thế hệ chúng tôi bước vào đại học mà không có sự dìu dắt của thế hệ đàn anh mà chắc chắn có không ít những người xuất chúng. Chiến tranh bạo tàn cướp đi cuộc sống của họ và triệt tiêu dấu ấn khoa học của họ.
Dĩ nhiên vẫn còn lại những nhà khoa học lớn tuổi, những học giả đem lại cho chúng tôi lòng tự hào và niềm kính trọng. Các giáo sư như Picard, Montel, Borel, Hadamard, Denjoy, Lebesgue, v.v., vẫn tiếp tục sống và làm việc năng nổ, nhưng họ đã đến tuổi ngũ tuần hoặc hơn nữa. Có một khoảng cách thế hệ lớn giữa họ và chúng tôi. Không phải chúng tôi không được học những điều quý giá từ họ: các bài giảng của họ đều tuyệt vời, nhưng một điều khó bàn cãi (dù ở thời đại nào cũng vậy) là một nhà toán học ở tuổi ngũ tuần biết rõ nhất những điều mình đã học ở tuổi hai mươi hay ba mươi, còn với toán học đương thời, người đó chỉ có hiểu biết tương đối sơ lược. Đó là một sự thực cần chấp nhận hơn là một điều dễ dàng thay đổi.
Chúng tôi được học các giáo sư thông thạo về toán học của những năm 1900, nhưng chúng tôi không biết gì nhiều về toán học của những năm 1920. Như đã nói ở trên, nước Đức có chính sách khoa học khác với Pháp, nên sau thế chiến trường phái toán học Đức đạt đến độ chín phi thường. Để làm rõ điểm này, chỉ cần nhắc đến những tên tuổi hàng đầu: C.L.Siegel, E. Noether, E. Artin, W. Krull, H.Hasse, v.v., những người rất ít được biết đến ở Pháp. Hơn thế, nước Pháp cũng gần như mù tịt về trường phái toán học đang phát triển nhanh của Nga, trường phái non trẻ nhưng xuất chúng của Ba Lan, và nhiều nền toán học khác. Chúng tôi không biết đến công trình của F. Riesz hay von Neumann, v.v. Chúng tôi đóng chặt cửa, sống trong thế giới của mình, với lý thuyết hàm giữ vị trí độc tôn. Ngoại lệ duy nhất là Elie Cartan; nhưng vì đi trước thời đại mình đến 20 năm, Cartan hầu như không được ai ở Pháp biết đến. (Người đầu tiên sau Poincaré thấu hiểu tài năng của Cartan là Hermann Weyl, và suốt mười năm trời chỉ có Weyl là người duy nhất hiểu Cartan, làm sao lũ sinh viên trẻ chúng tôi có đủ kiến thức để hiểu ông?) Nên ngoại trừ E. Cartan, người vẫn vô danh ở giai đoạn này (Cartan sẽ được biết đến hai mươi năm sau, để rồi từ đó danh tiếng của ông mỗi ngày một lớn), chúng tôi bị bó buộc trong lý thuyết hàm, một lĩnh vực tuy quan trọng nhưng chưa phải là tất cả toán học.
Cánh cửa duy nhất mở ra với thế giới cho chúng tôi lúc đó là seminar của Hadamard, người tuy là giáo sư của Đại học Pháp nhưng không phải là một nhà sư phạm xuất chúng. (Sự nghiệp trứ tác của ông đủ lớn để có thể nói như vậy mà không làm tổn hại gì đến danh tiếng của ông.) Ông có ý tưởng tổ chức một seminar giải tích về các công trình đương đại (có lẽ ông học được ý tưởng này từ nước ngoài, vì việc này chưa có tiền lệ ở Pháp). Đầu năm học ông gửi cho tất cả những ai muốn trình bày báo cáo trong seminar bản thảo mà ông cho là quan trọng nhất trong năm vừa qua, và mỗi người phải trình bày vấn đề trên bảng. Ở thời đó đây là một ý tưởng mới mẻ, một ý tưởng đặc biệt quý giá vì nhờ nó chúng tôi được tiếp cận công trình của những nhà toán học với nguồn gốc xuất thân khác nhau. Seminar Hadamard nhanh chóng cuốn hút cả những nhà toán học ngoại quốc; họ đến góp mặt đông đảo. Cánh sinh viên trẻ
chúng tôi nhờ đó được tiếp cận với nhiều nhà toán học và trường phái toán học mà mình chưa từng biết đến trên giảng đường đại học. Tình trạng đó tiếp diễn, cho đến lúc một số người trẻ tuổi như A. Weil, C. Chevalley, với kinh nghiệm từ những chuyến đi Ý, Đức, Ba Lan, v.v., nhận ra rằng cần phải làm điều gì đó nếu không muốn nước Pháp bị bỏ lại phía sau. Pháp có thể tiếp tục duy trì thế mạnh về lý thuyết hàm, nhưng trong tất cả các ngành còn lại, sẽ không ai quan tâm đến các nhà toán học Pháp nữa. Một truyền thống hai trăm năm đang có nguy cơ sụp đổ, vì từ Fermat đến Poincaré, những nhà toán học Pháp lớn nhất luôn nổi danh như là những người có tầm phổ quát, lịch duyệt cả về số học lẫn đại số, giải tích, hay hình học. Chúng tôi lo lắng khi một thế giới ý tưởng đang được phát triển ở ngoài những bức tường chật hẹp của nước Pháp, một số trong chúng tôi được đi ra ngoài và tận mắt chứng kiến những bước tiến đó. Sau khi Hadamard nghỉ hưu năm 1934, seminar của ông được tiếp tục với chút ít điều chỉnh bởi G. Julia. Trọng tâm bây giờ hướng về nghiên cứu một cách hệ thống hơn những ý tưởng toán học lớn đang nở rộ ở khắp mọi nơi. Tình hình này dẫn đến ý tưởng không chỉ giới hạn ở tổ chức seminar nữa, mà cần xuất bản một bộ sách để thâu tóm những ý tưởng chính của toán học hiện đại. Đó là bối cảnh đưa đến các tác phẩm của Bourbaki. Cần phải nhấn mạnh rằng các thành viên của Bourbaki khi đó đều rất trẻ và nếu già dặn hơn, hiểu biết có hệ thống hơn, chắc chắn họ đã không bao giờ xuất bản được các tác phẩm mang tên Bourbaki. Trong phiên họp đầu tiên, chúng tôi dự định trong vòng ba năm sẽ hoàn thành một cuốn sách phác thảo những nguyên lý cơ bản của toán học. Lịch sử đi theo một hướng khác. Dần dần, tích lũy thêm kinh nghiệm và sự tỉnh táo, chúng tôi mới ý thức được khối lượng khổng lồ các công việc cần làm và hiểu rằng không thể hoàn thành nhanh chóng như dự định ban đầu được.
Phải thừa nhận rằng thời điểm này đã xuất hiện nhiều chuyên khảo xuất sắc và lúc đầu bộ sách hai tập “Đại số hiện đại” của Van der Waerden là tấm gương để Bourbaki noi theo. Tôi không định hạ thấp uy tín của Van der Waerden, nhưng chính ông đã nói trong lời nói đầu rằng đằng sau cuốn sách của ông là thành quả lao động chung với cả E. Noether và E.Artin, nên có thể coi “Đại số hiện đại” như một tác phẩm tiền thân của Bourbaki. Bộsách của Van der Waerden có tác động vang dội. Tôi vẫn nhớ năm 1930 ấy, khi đang làm luận án tiến sĩ ở Berlin. Ngày sách của Van der Waerden ra đời là một dấu mốc không thể phai mờ. Kiến thức đại số khi ấy của tôi quá thấp so với đầu vào của các trường đại học ngày nay. Tôi hối hả lật giở từng trang sách của “Đại số hiện đại” và ngỡ ngàng thấy một thế giới rộng lớn mở ra trước mắt. Kiến thức đại số của tôi ngày đó dừng lại ở mathématiques spéciales(2), định thức, một chút về tính giải được của các phương trình đa thức và đường cong hữu tỉ(3). Tuy mới tốt nghiệp Đại học Sư phạm Paris, nhưng tôi không biết thế nào là một iđêan, và chỉ mới học khái niệm “nhóm”! Ở những năm 1930 đây cũng là tình trạng hạn chế chung về kiến thức của những nhà toán học trẻ ở Pháp. Vì thế nhóm Bourbaki cố gắng noi theo gương của Van der Waerden, nhưng Van der Waerden chỉ đề cập đến đại số, hơn nữa chỉ một phần nhỏ của đại số. (Sau này, đại số sẽ phát triển đáng kể một phần nhờ bộ sách kinh điển của Van der Waerden. Tôi hay được hỏi nên bắt đầu học đại số từ đâu, và trong phần lớn trường hợp tôi vẫn đáp: Đọc Van der Waerden trước hết, rồi hãy bận tâm đến những bước phát triển về sau.) Đó là dự định ban đầu của chúng tôi. Van der Waerden sử dụng một ngôn ngữ rất chính xác, một cách tổ chức và phát triển các ý tưởng rất chặt chẽ và cô đọng, trong từng phần cũng như toàn thể bộ sách. Cảm thấy đây là cách viết sách tối ưu, chúng tôi bắt đầu soạn thảo về rất nhiều đề tài trước đó chưa được ai xem xét một cách tường tận. Lý thuyết tôpô sơ cấp chỉ có trong một vài chuyên khảo và trong sách của Fréchet – một tập hợp vô tổ chức của một số khổng lồ các kết quả. Tôi cũng có thể nói như thế về sách của Banach, tuy sâu sắc về chất lượng khoa học nhưng rất lộn xộn; về những đề tài khác như tích phân (theo cách hiểu của Bourbaki) và một số lớp phương trình đại số, gần như không tồn tại một tài liệu nào. Trước chương sách Bourbaki viết về đại số đa tuyến tính, tôi không biết bất cứ tài liệu giáo khoa nào trên thế giới giải thích thế nào là đại số ngoài. Chỉ có cách đọc những tác phẩm không quá rõ ràng của Grassmann. Và như thế nhóm Bourbaki nhận ra mình đang xử lý một khối lượng công việc khổng lồ, vượt xa tưởng tượng ban đầu, và như chúng ta đều biết, công việc ấy vẫn còn lâu mới kết thúc. Trong vali của tôi là bản thảo của cuốn sách thứ ba mươi tư của Bourbaki, trong đó có ba chương về lý thuyết nhóm Lie. Rất nhiều bản thảo khác đang trong quá trình chuẩn bị; những cuốn sách trước đã ra được bản chỉnh lý thứ ba hay thứ tư, nhưng chưa biết lúc nào chúng tôi mới kết thúc việc xuất bản.
Chúng tôi đã cân nhắc xem phải bắt đầu từ đâu, phải làm những gì. Phải chăng chúng tôi nên soạn một cuốn Bách khoa toàn thư về Toán học? Như chúng ta đều biết, người Đức đã khởi thảo một cuốn Bách khoa toàn thư như thế từ 1900. Nhưng cả với sự kỷ luật và chăm chỉ trứ danh của người Đức, đến 1930, sau rất nhiều bổ sung và sửa đổi, bộ sách đó vẫn tỏ ra quá bất cập so với toán học đương thời. Ngày nay, đứng trước khối
lượng khổng lồ các ấn phẩm toán học ra đời mỗi năm, chẳng ai còn nghĩ đến một kế hoạch phi thực tế như vậy. Có lẽ ít nhất ta cũng phải đợi đến khi máy tính cũng có trí tuệ và hiểu được tất cả các ấn phẩm toán học đó trong vòng vài phút. Tình hình hiện tại cũng như tình hình của 1930 chưa cho phép điều đó được thực hiện. Lặp lại một kế hoạch đáng kính nể nhưng đã thất bại là việc vô ích. Bộ Bách khoa toàn thư của năm 1930 chỉ thực sự hữu dụng như một danh mục tài liệu tham khảo, cho ta biết đại loại cần tìm một kết quả toán học ở đâu. Tất nhiên bộ Toàn thư không có một chứng minh nào, vì muốn thêm vào chứng minh, ta sẽ phải gia tăng số lượng 25 đến 30 cuốn sách của bộ lên khoảng mười lần. Không, cái chúng tôi muốn không phải một danh mục tài liệu thao khảo, mà là một tác phẩm giới thiệu chi tiết về toán học từ những nguyên lý đơn giản nhất. Điều này bắt buộc chúng tôi phải đưa ra những chọn lựa gắt gao. Những chọn lựa nào? Vâng, đó chính là phần căn bản trong quá trình hoạt động của Bourbaki. Ý tưởng mau chóng chiếm được sự đồng thuận là tác phẩm của Bourbaki phải mang tính công cụ. Đó là phải thứ gì hữu ích không chỉ trong một phần nhỏ mà trong càng nhiều càng tốt các địa hạt toán học. Nói đơn giản, chúng tôi muốn tập trung vào những ý tưởng toán học căn bản và những nghiên cứu thiết yếu nhất. Chúng tôi phải loại bỏ bất cứ thứ gì thứ yếu, không có ứng dụng rộng rãi hay không trực tiếp dẫn đến những khái niệm quan trọng đã được thời gian thử thách. Đã có rất nhiều cân nhắc – nguyên nhân của vô số các thảo luận trong nội bộ Bourbaki và không ít thái độ thù hằn dành cho nhóm. Khi các tác phẩm của Bourbaki bắt đầu có tiếng vang, nhiều người không mặn mà với việc đánh giá tích cực về Bourbaki vì đề tài họ yêu thích không được đề cập đến. Tôi cho rằng nguyên nhân của không ít sự bất mãn với Bourbaki nằm ở quá trình sàng lọc đề tài gắt gao của chúng tôi.
Đâu là cách lựa chọn những kết quả căn bản của chúng tôi? Một ý tưởng cần nhắc đến ở đây là ý tưởng về các cấu trúc toán học. Tôi không nói rằng ý tưởng này do chính Bourbaki nghĩ ra – không có gì phải bàn cãi về việc Bourbaki hiếm khi viết ra các kết quả hoàn toàn mới. Bourbaki không tìm cách cách tân toán học, và nếu một định lý được Bourbaki nhắc đến, thì nó đã được chứng minh từ trước đó hai, hai mươi, hay hai trăm năm. Điều Bourbaki làm là định vị và khái quát một ý tưởng đã được sử dụng rộng rãi từ lâu. Bắt đầu từ Hilbert và Dedekind, chúng ta đều biết rằng có thể xây dựng một cách chặt chẽ và hữu ích một phần lớn của toán học dựa trên một số ít các tiên đề được lựa chọn kỹ càng. Bắt đầu từ những tiên đề căn bản của một lý thuyết, ta có thể phát triển cả lý thuyết một cách hệ thống, toàn diện hơn bất kỳ phương pháp nào khác. Ý niệm về cấu trúc toán học xuất phát từ nhận xét đó. Cần phải nói ngay rằng, về sau này, ý niệm về cấu trúc toán học đã bị vượt qua bởi ý niệm về phạm trù và hàm tử, trong đó cấu trúc toán học xuất hiện dưới dạng tổng quát và tiện dụng hơn. Với tinh thần dũng cảm trước mọi thách thức mới (tôi sẽ nói rõ hơn về điểm này), ở những năm 1930, Bourbaki nhận thức rõ nhiệm vụ sử dụng các cấu trúc toán học trong tác phẩm của
mình. Với nhận thức đó, chúng tôi phải cân nhắc xem đâu là những cấu trúc toán học quan trọng nhất. Lẽ dĩ nhiên, cần rất nhiều thảo luận trước khi chúng tôi đi đến sự đồng thuận. Có thể nói Bourbaki không bao giờ cho mình là kẻ độc quyền chân lý; Bourbaki đã từng nhầm lẫn về tương lai phát triển của các cấu trúc toán học, nhưng chúng tôi đã từ bỏ những nhận định sai và biết nhận lỗi kịpthời. Những ấn bản chỉnh lý là chứng nhân rõ ràng của nhiều thay đổi. Bourbaki không có tham vọng gò toán học vào một khuôn khổ nhất định; điều đó đi ngược lại với mục đích ban đầu của chúng tôi. Nếu thiếu sự trân trọng với những ý tưởng mới, kể cả những ý tưởng vượt ra khỏi khuôn khổ của Bourbaki, thì chính chúng tôi đang phản bội lại truyền thống. Thái độ nhất quán không giấu giếm của Bourbaki cũng lại là một nguồn gây ra sự bất mãn, lần này là từ những thế hệ toán học đi trước, khi họ chỉ trích Bourbaki hành xử tùy tiện với di sản toán học trong quá khứ. Cụ thể hơn, việc lựa chọn định nghĩa và thứ tự trình bày các lý thuyết của Bourbaki luôn có tính logic và tuần tự. Nếu một cách trình bày trong quá khứ không tương thích với mô hình lý thuyết hiện tại, thì, rất tiếc, chúng tôi nghĩ rằng phải loại bỏ cách trình bày đó, dù nó có một truyền thống lâu đời đến thế nào. Ví dụ: Bourbaki từ chối gọi một hàm tăng là “không giảm”. Chúng ta biết rằng từ “không giảm” chỉ diễn đạt đúng điều chúng ta muốn khi quan hệ thứ tự được dùng đến là quan hệ thứ tự toàn phần. (Nếu làm việc với một quan hệ thứ tự không toàn phần, từ “không giảm” tất nhiên không diễn tả quan hệ “tăng nhưng không tăng ngặt”.) Vì thế Bourbaki loại bỏ hoàn toàn việc dùng từ này, cũng như nhiều từ khác. Bourbaki cũng sáng tạo ra nhiều thuật ngữ, đôi khi sử dụng cả tiếng Hy Lạp, nhưng nhiều trường hợp dùng ngôn ngữ thông thường, khiến những người câu nệ truyền thống trong toán học nhíu mày. Không chấp nhận nổi việc khối siêu cầu (hypersphéroide) ngày nào nay bị gọi là quả cầu (boule) hay đa diện song song (parallélotope) bây giờ bị giáng cấp xuống thành hình hộp (pavé), họ lắc đầu: “Sách vở gì cái thứ cợt nhả này.” Có một cuốn sách ra đời gần đây rất thú vị với chúng tôi. Đó là cuốn Thuật ngữ bí hiểm của các ngành khoa học của Etiemble, một chuyên gia bảo vệ ngôn ngữ tiếng Pháp. Etiemble cương quyết bảo tồn sự trong sáng của tiếng Pháp chống lại ngôn từ bí hiểm của phần lớn các khoa học gia. Rất hân hạnh là ông coi các nhà toán học Pháp như ngoại lệ khi bảo họ đã khôn ngoan lựa chọn những từ ngữ đơn giản,nguyên gốc Pháp từ trong ngôn ngữ hàng ngày, đôi khi thay đổi chút ít ý nghĩa. Ôngđưa ra những ví dụ hấp dẫn, những bài báo mới xuất hiện như Platitude et privilège và Sur les variétés riemanniennes non suffisamment pincées(4). Đó là phong cách ngôn ngữ của Bourbaki – một ngôn ngữ dễ tiếp cận, không bùng nhùng trong mớ thuật ngữ pha trộn đậm đặc các cụm từ viết tắt, như với nhiều văn bản Anh ngữ đề cập với độc giả về C.F.T.C., vốn liên hệ chặt chẽ với A.L.V. trừ trường hợp nó là một B.S.F. hay một Z.D., v.v. Sau khi đọc được mười trang khảo cứu như thế chẳng ai còn hiểu nổi câu chuyện đang được bàn thảo là gì. Bourbaki cho rằng giá thành mực in đủ rẻ để viết sách bằng ngôn ngữ rõ ràng, sử dụng những từ ngữ được cânnhắc kỹ càng.
Tôi nói rằng Bourbaki đã phải sàng lọc gắt gao khi chọn đề tài để viết. Để giải thích rõ hơn sự sàng lọc này, tôi sẽ dùng một hình ảnh so sánh. Dù cần đến ý tưởng về cấu trúc để làm sáng tỏ và phân biệt mọi thứ, chúng tôi sớm nhận thấy không thể cắt rời toán học thành các mảng riêng biệt. Hơn nữa, không khó để thấy sự phân chia toán học thành Đại số, Số học, Hình học và Giải tích đã lỗi thời. Chúng tôi cự tuyệt sự phân chia đó ngay từ đầu trước sự giận dữ của nhiều người. Ví dụ, ta biết rằng hình học Euclid là một trường hợp riêng của lý thuyết toán tử Hermit trong không gian Hilbert. Tương tự như thế, lý thyết về đường cong đại số và lý thuyết số gần như xuất phát từ cùng một loại cấu trúc. Cách phân chia toán học truyền thống như trên cũng giống như cách phân loại của các nhà sinh vật học cổ đại khi họ xếp cá heo, cá mập và cá ngừ vào cùng một lớp là cá, vì tất cả các động vật đó đều sống dưới biển và có hình dạng giống nhau. Phải mất một thời gian trước khi những nhà sinh vật học đó nhận ra cấu trúc cơ thể của các động vật này không hề giống nhau, và phải phân loại chúng theo một cách hoàn toàn khác. Đại số, Số học, Hình học, và những cách phân chia tương tự không khác gì câu chuyện kể trên. Nếu chỉ nhìn qua loa cấu trúc của từng phân ngành sẽ thấy cách phân chia toán học như thế là đúng. Nhưng không cần mất nhiều thời gian để thấy rằng dù có cố gắng tách biệt các cấu trúc đến đâu, chúng vẫn luôn có cách trộn lẫn rất nhanh chóng và vô cùng thú vị. Thậm chí có thể nói rằng các ý tưởng lớn của toán học đã nảy sinh khi có sự gặp gỡ của một số cấu trúc vô cùng khác biệt. Và đây là tưởng tượng của tôi về toán học ở thời điểm hiện tại. Toán học, đó là một cuộn len, một cuộn dây rối trong đó các phần của toán học tương tác với nhau theo những cách không thể tiên đoán được. Không thể tiên đoán, vì hầu như không có năm nào trôi qua mà không có một tương tác mới nảy sinh. Và tuy vậy, trong cuộn len này, vẫn có một số sợi len trồi ra từ khắp các hướng, không kết nối với bất cứ thứ gì khác. Thế thì, phương pháp của Bourbaki rất giản dị, chúng ta sẽ cắt các sợi len thừa ấy đi. Điều đó nghĩa là gì? Chúng ta hãy lập danh sách những gì được giữ lại và những gì bị loại ra. Những thứ cần thiết phải giữ lại: Những cấu trúc căn bản nhất (tất nhiên tôi không muốn chỉ còn lại tập hợp(5)), đại số tuyến tính và đa tuyến tính, một chút tôpô đại cương (càng ít càng tốt), một chút không gian vectơ tôpô (càng ít càng tốt), đại số đồng điều, đại số giao hoán, đại số không giao hoán, nhóm Lie, tích phân, đa tạp khả vi, hình học Riemann, tôpô vi phân, giải tích điều hòa và mở rộng của nó, phương trình vi phân thường và đạo hàm riêng, biểu diễn nhóm nói chung, và trong nghĩa rộng nhất, hình học giải tích. (Tất nhiên tôi hiểu hình học giải tích theo nghĩa của Serre, cách hiểu duy nhất có lý. Hoàn toàn không thể chấp nhận được cách hiểu hình học giải tích như đại số tuyến tính sử dụng tọa độ, như cách làm ở những sáchsơ cấp. Hình học giải tích theo cách này chưa bao giờ tồn tại với tư cách bộ phận của toán học. Chỉ những người kém cỏi về đại số tuyến tính, quẫn bách đến mức phải dùng tọa độ mới gọi phương pháp của họ là hình học giải tích. Khỏi cần bận tâm đến họ! Ai cũng biết rằng hình học giải tích là lý thuyết về các không gian giải tích(6), một trong những lĩnh vực sâu sắc và phức tạp nhất của toán học.) Cũng cần kể đến hình học đại số, người em song sinh của hình học giải tích, và cuối cùng lý thuyết số đại số. Đây là một danh sách gần như bắt buộc. Hãy xem những gì bị loại ra. Lý thuyết về số thứ tự và lực lượng (ordinals and cardinals), đại số phổ dụng, lưới (lattices), đại số không kết hợp, phần lớn tôpô đại cương, phần lớn không gian vectơ tôpô, phần lớn lý thuyết nhóm (về nhóm hữu hạn), phần lớn lý thuyết số (trong số đó có lý thuyết số giải tích). Quá trình lấy tổng và tất cả những gì có thể gọi là giải tích căn bản – chuỗi lượng giác, nội suy, chuỗi đa thức, v.v.; có rất nhiều thứ tương tự ở đây; và cuối cùng, tất cả toán ứng dụng. Tôi muốn giải thích rõ hơn đôi chút. Tôi hoàn toàn không có ý nói rằng khi sàng lọc như trên Bourbaki có bất cứ đánh giá nào về sự tinh tế và sức mạnh của các lý thuyết, dù được lựa chọn hay loại ra. Ví dụ, tôi tin rằng lý thuyết nhóm hữu hạn như ta biết ngày nay là một trong những lý thuyết sâu sắc và dồi dào nhất các kết quả phi thường, trong khi những lý thuyết như đại số không giao hoán chỉ khó vừa phải. Và nếu phải đánh giá, có lẽ tôi cần nói rằng hầu hết các kết quả toán học tinh tế – được ngưỡng mộ bởi sự khéo léo và đột phá của tác giả – đều bị loại trừ khỏi tác phẩm của Bourbaki. Như đã thấy, chúng tôi không xem mình là đấng tối cao đứng ra phân loại, phía bên này được chọn là toán học hay, phía bên kia không được chọn là toán học dở. Do chỗ muốn trình bày toán học hiện đại sao cho trung tâm phát xuất của toàn bộ thế giới toán học hiện ra rõ ràng, chúng tôi buộc phải loại ra nhiều chủ điểm. Về lý thuyết nhóm, dù đã có rất nhiều định lý đột phá và xuất sắc được khám phá, khó có thể nói rằng chúng cùng xuất phát từ một phương pháp tổng quát. Lý thuyết nhóm cần đến nhiều phương pháp khác nhau, và giống như một người thợ thủ công, nhà nghiên cứu làm việc trong lý thuyết nhóm cần dùng một loạt ngón nghề đặc biệt. Bourbaki không thể trình bày một lý thuyết như vậy. Bourbaki chỉ có thể và chỉ muốn trình bày những lý thuyết có thứ tự lớp lang, trong đó các phương pháp tuần tự theo sau các tiền đề, và không có nhiều chỗ cho những ngón nghề đặc biệt. Nói cách khác, Bourbaki chủ yếu trình bày những lý thuyết đã trở thành cổ điển, ít nhất là ở nền tảng. Chúng tôi không tập trung vào chi tiết mà vào các nguyên lý nền tảng. Một lý thuyết chỉ được đề cập khi có một phác thảo tuần tự, lôgic về nó. Không gì khác, lý thuyết nhóm chính là một chuỗi các bài trí phức tạp, càng ngày càng khó nắm bắt hơn và do đó trái ngược với tinh thần Bourbaki (lý thuyết số giải tích thì càng như thế). Tôi nhấn mạnh là Bourbaki tuyệt đối không đánh giá thấp giá trị của các lý thuyết đó. Ngược lại, giá trị của một nhà toán học chính là nằm ở những phát minh của anh/chị ta, kể cả những ngón nghề đặc biệt. Ai cũng biết câu tục ngữ Trước lạ sau quen. Vâng, vinh quang thuộc về người đầu tiên phát minh ra một kỹ thuật đặc biệt, chứ không phải người hệ thống hóa kỹ thuật đó thành một phương pháp sau khi sử dụng nó nhiều lần. Nhưng chính bước kém vinh quang đó là mục đích của Bourbaki: chúng tôi chọn lọc từ lượng lớn các quy trình toán học những yếu tố nào hữu ích có thể sắp đặt thành một lý thuyết nhất quán, có thứ tự lớp lang, dễ trình bày và tiện dụng. Phương pháp làm việc của Bourbaki rất căng thẳng và tốn kém thời gian, nhưng hầu như không thể tránh khỏi. Hai, ba lần trong năm, các thành viên của Bourbaki nhóm họp. Khi đã đồng thuận về việc viết về đề tài gì, cần cả một cuốn sách hay chỉ một vài chương về đề tài đó (với một cuốn sách, chúng tôi dự thảo trước một số chương), việc soạn bản thảo đầu tiên được giao cho một thành viên trên tinh thần tự nguyện. Xuất phát từ một kế hoạch khá sơ lược, thành viên đó sẽ soạn một bản thảo. Anh ta được thoải mái chọn viết và không viết về cái gì, không biết trước những may rủi gì đang chờ đợi mình, như bạn sẽ thấy. Sau một hay hai năm, bản thảo hoàn thành được mang ra xem xét ở một phiên họp của Bourbaki, được đọc không bỏ sót một trang cho mọi người cùng nghe. Không có chứng minh nào không bị soi xét đến từng điểm nhỏ và chỉ trích không thương tiếc. Phải góp mặt ở một phiên họp của Bourbaki ta mới biết những chỉ trích đó dữ dội đến mức nào, vượt xa tất cả những công kích đến từ ngoài nhóm. Không tiện nhắc lại ở đây ngôn từ cụ thể đã được sử dụng. Tuổi tác không thành vấn đề. Tuổi tác của các thành viên Bourbaki có thể khác xa nhau– chúng ta sẽ đề cập sau về giới hạn tuổi tác cho phép – nhưng khi có bất đồng chính kiến giữa hai người chênh nhau hai mươi tuổi, và người lớn tuổi hơn có vẻ như không hiểu đầu đuôi câu chuyện, người còn lại cũng được phép thoải mái chỉ trích bậc đàn anh. Như ở những nơi khác, mọi thành viên Bourbaki phải biết vui vẻ chấp nhận điểm yếu của mình. Trong mọi trường hợp, không cần nhiều thời gian để nhận được hồi âm, không ai có thể giả bộ như mình độc quyền chân lý trước các thành viên Bourbaki, và dù dành thời lượng không nhỏ cho những cãi vã kịch liệt, cuối cùng mọi việc đều đi đến hồi kết.
Nhiều người không phải thành viên, khi được mời làm khán giả trong một phiên họp của Bourbaki, đã bước ra với kết luận: đó là cuộc họp của những kẻ khùng. Họ không thể tưởng tượng được làm cách nào người ta có thể tạo ra tri thức sau khi hò hét vào mặt nhau, nhiều lúc với dàn đồng thanh của ba bốn người. Điều kỳ diệu là rồi mọi thứ cũng lắng xuống. Sau khi bản thảo đầu tiên bị vùi dập không thương tiếc, chúng tôi chọn ra thành viên thứ hai để soạn thảo và bắt đầu lại quá trình. Con người tội nghiệp đó biết những gì sẽ xảy ra với mình vì dù anh ta bấu víu vào những chỉ dẫn mới, ý kiến của cả nhóm lại thay đổi trong lần gặp gỡ tiếp theo và năm sau, đến lượt bản thảo của chính anh ta bị vùi dập. Một thành viên thứ ba sẽ đứng ra soạn thảo, và câu chuyện tiếp tục như vậy. Có thể tưởng tượng rằng quá trình này sẽ kéo dài vô tận, nhưng vì đời người hữu hạn, chúng tôi phải dừng lại. Nếu một chương sách được đem ra bàn luận đến lần thứ sáu, bảy, tám, hay lần thứ mười, ai nấy đều ngấy đến tận cổ và tất cả như một chấp thuận mang nó đến nhà in. Điều đó không có nghĩa bản thảo đã hoàn thiện, không ít lần sau bao nhiêu thận trọng ban đầu chúng tôi thấy mình nhầm lẫn không chỗ này thì chỗ khác. Vì thế ấn bản sau đó lại có thêm những điều chỉnh. Có điều chắc chắn là khó khăn lớn nhất nằm ở ấn bản đầu tiên. Từ lúc chúng tôi dự định viết một chương sách cho đến lúc nó được bày bán ở hiệu sách, thông thường cần từ 8 đến 12 năm. Những sách sắp ra là những cuốn đã được khởi thảo từ khoảng 1955.(7) Tôi đã nói rằng có giới hạn tuổi tác đối với thành viên Bourbaki. Quy định này được đặt ra từ sớm vì lý do kể trên – một nhà toán học ở tuổi ngũ tuần có thể vẫn rất sắc bén và dồi dào sức sáng tạo nhưng hiếm khi có thể thích nghi với những ý tưởng mới của những nhà toán học trẻ hơn 25, 30 tuổi. Bourbaki muốn duy trì trường tồn hoạt động của mình. Không có chuyện chúng tôi đóng khung toán học vào một giai đoạn nhất định nào đó. Nếu tác phẩm nào Bourbaki viết ra không cập nhật với xu thế toán học đương thời, tác phẩm đó không có giá trị và phải được viết lại từ đầu. Điều này đã có tiền lệ trong quá khứ. Nếu Bourbaki có thành viên cao tuổi, với niềm tin rằng không cần phải thay đổi những thứ tự có sẵn từ thời trai trẻ của mình, những người đó sẽ hạn chế xu hướng cập nhật và cản trở sự cách tân. Điều này sẽ là một thảm họa. Để tránh những xung đột đe dọa sự tồn vong của Bourbaki, ngay khi vấn đề trên được đặt ra, Bourbaki đã thống nhất yêu cầu mọi thành viên nghỉ hưu ở tuổi 50. Quy định đó vẫn được giữ nguyên; tất cả các thành viên hiện tại của Bourbaki đều dưới tuổi ngũ tuần. Những thành viên sáng lập đã nghỉ hưu từ khoảng mười năm trước, và không ít người từng được coi là thành viên trẻ cũng đã hoặc sắp đến tuổi nghỉ hưu. Bourbaki tuyển cộng tác viên mới như thế nào?Khôngcó một quy định nào về việc tuyển cộng tác viên, vì Bourbaki chỉ có một quy định chính thức duy nhất đã kể ở trên: mọi thành viên nghỉ hưu ở tuổi 50. Ngoài quy định đó, có thể nói rằng quy định duy nhất của Bourbaki là không có một quy định nào cả. Không có quy định, vì không bao giờ Bourbaki lấy biểu quyết số đông, chúng tôi phải nhất trí tuyệt đối trong mọi trường hợp. Mọi thành viên có quyền phủ quyết bất cứ chương sách nào anh ta xem là yếu kém. Sự phủ quyết của một cá nhân cũng đủ để chương sách không được in, và cả nhóm phải quay lại xem xét từ đầu chương đó. Đó là lý do quá trình làm việc của Bourbaki luôn cần nhiều thời gian: không dễ dàng gì có đồng thuận chung để đi đến bản thảo cuối cùng. Chúng tôi quan tâm đến việc thay thế những thành viên đến tuổi về hưu. Chúng tôi không lập hội đồng tuyển dụng thành viên mới (vì đó sẽ là một quy định, trong khi không có quy định nào cả). Không có ghế trống, như trong các viện hàn lâm. Vì phần lớn các thành viên của Bourbaki là các giáo sư – nhiều người làm ở Paris – họ có cơ hội gặp gỡ trực tiếp những nhà toán học trẻ, những thanh niên mới bắt đầu sự nghiệp nghiên cứu. Chúng tôi sớm chú ý đến những thanh niên có tài với tương lai đầy hứa hẹn. Khi biết một người như thế, chúng tôi mời anh ấy đến dự một phiên họp của Bourbaki trong tư cách đối tượng thí nghiệm. Đó là phương pháp truyền thống của chúng tôi. Ai cũng biết thế nào là đối tượng thí nghiệm: người ta thử nghiệm các loại virút trên chúng. Việc diễn ra ở Bourbaki cũng không khác; người trẻ tuổi xấu số kia sẽ là đối tượng nhắm đến trong cuộc khẩu chiến mang tên phiên thảo luận của Bourbaki. Không những phải hiểu rõ vấn đề được thảo luận, anh ta còn phải tham gia tích cực. Nếu giữ im lặng, anh ta sẽ không được mời nữa.
Anh ta cũng phải chứng tỏ một loại phẩm chất đặc biệt. Không ít những tài năng toán học lớn đã không được tham gia Bourbaki vì thiếu phẩm chất đó. Trong một phiên họp, những chương sách được thảo luận có thể xuất hiện theo thứ tự không định trước, và không ai biết trước liệu nhóm có thảo luận về tôpô vi phân trong phiên họp này, hay đại số giao hoán trong phiên kế tiếp. Chúng tôi xáo trộn mọi thứ – để dùng lại một ví dụ minh họa, cuộn len có thể là hình ảnh tượng trưng cho Bourbaki. Vì thế một thành viên Bourbaki cần phải quan tâm đến tất cả những thứ gì anh ta nghe được. Nếu anh ta sùng bái đại số đến mức nói rằng “Tôi chỉ quan tâm đến đại số, chấm hết”, không sao cả, nhưng anh ta sẽ không bao giờ trở thành thành viên của Bourbaki. Thành viên của Bourbaki phải quan tâm đến mọi thứ cùng một lúc. Không thể sáng tạo trong tất cả các ngành của toán học, điều đó không thành vấn đề. Tất nhiên không thể yêu cầu mọi người đều là một nhà toán học phổ quát; đó là đặc quyền dành riêng cho một thiểu số những thiên tài. Nhưng ít nhất, thành viên của Bourbaki cần phải quan tâm đến tất cả mọi thứ và khi cần, có thể viết một chương sách về một đề tài không thuộc chuyên môn của mình. Đó là điều gần như tất cả mọi thành viên đã làm, và tôi nghĩ hầu hết mọi người đều vô cùng hài lòng với trách nhiệm được giao. Từ kinh nghiệm cá nhân, nếu không được yêu cầu viết và thực sự viết một cách đến nơi đến chốn về những bài toán tôi hoàn toàn không có chút hiểu biết nào, chắc chắn tôi đã không thể đạt được một phần tư, thậm chí một phần mười những gì đã làm. Là một người làm toán, khi phải viết về những vấn đề mình không hiểu, ta sẽ đặt nhiều câu hỏi cho bản thân. Đó là tính cách đặc trưng của một nhà toán học. Ta sẽ cố gắng trả lời những câu hỏi đó, từ đó viết ra những công trình riêng ít nhiều có giá trị, độc lập với Bourbaki, nhưng được cưu mang bởi hoạt động trong Bourbaki. Vì vậy Bourbaki không hẳn là một hệ thống vô ích. Nhưng cũng có những người xuất chúng không thể thích nghi với những nghĩa vụ theo kiểu của Bourbaki, họ là những người hàng đầu trong một ngành nhưng không quan tâm đến những ngành khác.
Có những nhà đại số gạo cội không bao giờ muốn sờ đến giải tích, có những nhà giải tích nhìn trường quaternion như một quái vật. Họ có thể là những nhà toán học hàng đầu, xuất chúng hơn phần lớn các thành viên Bourbaki – có nhiều tên tuổi lớn trong số đó, và Bourbaki vui vẻ chấp nhận điều này – nhưng những người như vậy không bao giờ có thể trở thành thành viên của Bourbaki.
Trở lại câu chuyện đối tượng thí nghiệm. Khi một nhà toán học được mời đến phiên họp của Bourbaki, chúng tôi tìm kiếm khả năng thích nghi với các ngành khác nhau ở anh ấy(8). Thông thường chúng tôi không tìm thấy khả năng đó, chúng tôi chia tay và chúc anh ấy may mắn trên con đường về sau. Nhưng đôi lúc chúng tôi tìm thấy từ vị khách mời trẻ tuổi của mình phẩm chất đó: lòng ham chuộng những hiểu biết phổ quát về toàn bộ toán học, khả năng thích nghi với những lý thuyết khác xa nhau. Sau một thời gian ngắn, nếu có những đóng góp tích cực cho Bourbaki, nhà toán học đó sẽ trở thành thành viên mà không cần đến biểu quyết, bình duyệt, hay tiệc tùng. Xin được nhắc lại, Bourbaki có một quy định duy nhất, là không có bất cứ quy định nào cả, ngoại trừ việc nghỉ hưu ở tuổi 50. Để kết thúc, tôi xin trả lời ý kiến phê bình Bourbaki của một số người. Bourbaki bị buộc tội làm cạn kiệt nghiên cứu khoa học. Phải thừa nhận là tôi hoàn toàn không hiểu sự phê phán này, vì Bourbaki chưa bao giờ coi tác phẩm của mình là để thúc đẩy nghiên cứu khoa học. Tôi nhắc lại rằng Bourbaki chỉ cho phép bản thân viết về những lý thuyết đã thành cổ điển, những lý thuyết chết, những đề tài được giải quyết triệt để và chỉ cần sắp xếp lại (tất nhiên vẫn phải tính đến những ngoại lệ). Đúng ra không thể gọi bất cứ thứ gì trong toán là “đã chết”, vì một ngày sau khi ta tuyên bố như thế, một người nào đó có thể nghiền ngẫm lý thuyết này và tìm ra một ý tưởng mới làm nó hồi sinh. Để chặt chẽ hơn, Bourbaki đề cập đến những lý thuyết đã thành cổ điển ở thời điểm soạn thảo cuốn sách – những lý thuyết tuy có thể quan trọng và then chốt trong quá khứ, và có ứng dụng cho nhiều nghiên cứu khác nhau, nhưng suốt 10, 20, hay 50 qua không chứng kiến thêm một phát minh đáng kể nào. Những lý thuyết này không nhất thiết phải thúc đẩy nghiên cứu khoa học ở thời điểm hiện tại. Bourbaki quan tâm đến việc cung cấp tài liệu tham khảo và hỗ trợ những ai muốn hiểu những nguyên lý căn bản của một lý thuyết. Ví dụ Bourbaki muốn chỉ ra rằng khi làm việc với không gian vectơ tôpô, có ba, bốn định lý cần biết: Hahn-Banach, Banach-Steinhaus, đồ thị đóng; Bourbaki hỗ trợ việc tìm ra các kết quả đó. Nhưng không ai nghĩ đến việc phải cải thiện các định lý đó; người ta chấp nhận chúng như chúng vốn là, chúng vô cùng hữu ích (đây là điểm căn bản) vì thế chúng xuất hiện trong Bourbaki. Đây là điểm quan trọng với Bourbaki. Về điểm thúc đẩy nghiên cứu khoa học, nếu có những vấn đề mở trong một lý thuyết cũ, tất nhiên Bourbaki nhắc đến chúng nhưng đó không phải mục đích chính của chúng tôi.
Tôi nhắc lại, mục đích chính là cung cấp công cụ làm việc, không phải là phát biểu hùng hồn về những vấn đề mở của toán học đương đại, vì những vấn đề mở này nói chung vượt ra khỏi phạm vi hoạt động của Bourbaki. Chúng thuộc về toán học đang vận động nhưng Bourbaki không viết về toán học đang vận động. Chúng tôi không thể viết về một thứ thay đổi từng năm. Dùng phương pháp của Bourbaki, làm việc tám đến mười năm cho một cuốn sách, nếu chúng tôi viết về toán học đang vận động, thì không khó để tưởng tượng tác động của cuốn sách đó sau năm thứ mười hai. Cuốn sách sẽhoàn toàn v ô dụng. Chúng tôi sẽ phải liên tục viết lại cuốn sách, và công trình của chúng tôi sẽ không bao giờ hoàn thành được, giống như cuốn Bách khoa toàn thư toán học cũ.
