Bài toán tổ hợp

Bài toán:Cho điểm trên mặt phẳng trong đó không có điểm nào thẳng hàng, điểm tạo thành các tam giác có độ dài các cạnh khác nhau.Chứng minh tồn tại đoạn thẳng vừa là đoạn thằng dài nhất của tam giác này vừa là đoạn thẳng ngắn nhất của tam giác kia.

Lời giải:

Ta tô đoạn ngắn nhất của mỗi tam giác bằng màu đỏ.Thế thì ta cần chứng minh có một tam giác có cạnh màu đỏ.

Ta có nhận xét sau:

Cho điểm trên mặt phẳng sao cho không có điểm nào thằng hàng.Nối các điểm lại với nhau và tô màu các đoạn thằng bằng màu: xanh và đỏ.Khi đó tồn tại một tam giác có các cạnh cùng màu.

Thật vậy:

Gọi là một điểm bất kì thuộc điểm đã cho.Nối với điểm còn lại.()

Khi đó,trong đoạn thẳng thì tồn tại đoạn thẳng cùng màu.Giả sử cùng màu đỏ.

+)Nếu tồn tại một đoạn thẳng (với ) màu đỏ thì là tam giác cần tìm.

+)Nếu tất cả các đoạn thằng màu xanh thì là tam giác cần tìm.

Vậy nhận xét được chứng minh.Trở lại bài toán:

Thế thì trong điểm đã cho luôn tồn tại tam giác được tô cùng màu đỏ.(Không thể có tam giác nào mà các cạnh không được tô màu).

Do đó ta có đpcm.