Kỷ niệm 30 năm chứng minh định lý Fermat.
Dành cho Sir Andrew Wiles một sự ngưỡng mộ sâu sắc.
Bài viết này giới thiệu tổng quan bài báo của Andrew Wiles “Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem“.
Bố cục công trình của Wiles gồm:
Phần mở đầu: Tác giả giới thiệu về giả thuyết Taniyama-Shimura và các định lý chính trong bài báo. Ngoài ra Wiles còn sơ lược trình về các bước tiến mà ông đạt trong suốt 7 năm nghiên cứu âm thầm.
Phần chính: gồm có 5 chương.
Chương 1: tập trung vào việc giới thiệu các biểu diễn Galois (nảy sinh từ đường cong elliptic), gồm có 3 phần.
Phần đầu giới thiệu về lý thuyết biến dạng Galois (Galois deformation) của Mazur và các cải tiến của nó. Wiles nghiên cứu các không gian biến dạng khác nhau, phụ thuộc vào reduction của đường cong elliptic (thông qua ngôn ngữ của biểu diễn Galois). Các cải tiến của Wiles sẽ dùng để đưa ra mối liên hệ tường minh giữa vành biến dạng phổ quát và vành Hecke ở chương sau. Kết quả chính của chương này là tính chât 1.2, cho ta mối liên hệ giữa không gian tiếp xúc của không gian biến dạng và nhóm đối đồng điều H^1 (Wiles gọi là nhóm Selmer), từ đó đưa ra các đánh giá cho sự thay đổi của bất biến p/p^2. Wiles cũng liên hệ các nhóm Selmer ở đây với các nhóm Selmer trong giả thuyết của Bloch-Kato nhưng mối liên hệ này là không cần thiết cho các kết quả chính.
Phần thứ hai đưa ra các kết quả của Poitou và Tate trong lý thuyết đối đồng điều Galois, liên hệ các nhóm Selmer khi tập hợp các số nguyên tố rẽ nhánh thay đổi cũng như nhóm liên hệ với đối ngẫu của chúng. Quan sát đáng chú ý nhất là bổ đề 1.10(i), bảo đảm sự tồn tại các số nguyên tố đặc biệt sử dụng trong chương 3 và trong bài báo chung với Taylor.
Phần cuối ít quan trọng hơn nói về một số kết quả liên quan đến nhóm con của GL_2(k).
Chương 2: nghiên cứu vành Hecke, vành được sinh bởi các toán tử Hecke (các toán tử tác động vào dạng modular).
Để chứng minh định lý modularity thì ta chứng minh rằng vành Hecke tương ứng với vành biến dạng (R=T theorem). Một trong các tính chất đặc biệt của vành này là tính Gorenstein, được chứng minh trong bài báo khác được Wiles viết cùng Taylor. Phần đầu chương 2 nhắc lại một số tính chất quan trọng của vành Hecke.
Để chứng minh R=T, Wiles đưa nó về việc chứng minh chúng bằng nhau tại level tối tiểu. Wiles chỉ ra rằng điều này sẽ tương đương với việc 2 đại lượng đặc trưng của hai vành là bằng nhau, bất biến eta của vành Hecke và bất biến p/p^2 của vành biến dạng. Phần hai của chương này tập trung cho các tính toán sự thay đổi của đại lượng eta khi level tăng.
Phần ba của chương phát biểu giả thuyết liên hệ các vành biến dạng trong chương 1 và các vành Hecke. Cuối cùng kết thúc bằng một bước quan trọng chứng minh rằng nếu giả thuyết đùng tại level tối tiểu thì nó sẽ đúng với mọi level. Bằng các kết quả trong phần phụ lục, giả thuyết này tương đương với việc bất biến eta của vành Hecke và bất biến p/p^2 của vành biến dạng là bằng nhau.
Chương 3: chứng minh giả thuyết được nêu trong chương 2 (giả thuyết 2.16).
Ở chương 1, ta đã biết rằng bất biến p/p^2 thông qua nhóm Selmer, trong chương này Wiles đưa ra chặn trên cho nhóm Selmer trong trường hợp vành Hecke tại level tối tiểu là giao hoàn toàn. Bằng cách kết hợp với kết quả chính trong bài báo cùng Taylor (chứng minh vành Hecke là giao hoán hoàn toàn), điều này cho ta định lý R=T nếu vành Hecke tối tiểu tồn tại
Chương 4: cho ta các đánh giá cho Selmer trong trường hợp có phép nhân phức (complex multiplication) dựa trên phương pháp của Kolyvagin. Đưa ra mối liên hệ với L-hàm.
Chương 5: hoàn tất chứng minh định lý modularity cho mọi đường cong elliptic nửa ổn định trên Q.
Phần phụ lục: chứng minh mối liên hệ giữa các bất biến.
Blog Toán Học 