Bài đa thức nguyên | Blog Toán Học

Bài đa thức nguyên

Posted on April 17, 2014 by cuoichutdi

Bài toán: Cho các đa thức có hệ số nguyên $P(x),Q(x)$ và dãy $a_n=n!+n,\forall n \in \mathbb{N}$ .Chứng minh nếu $\dfrac{P(a_n)}{Q(a_n)}$ là số nguyên với mọi $n$ thì $\dfrac{P(n)}{Q(n)}$ là số nguyên với mọi $n$ thỏa $Q(n) \neq 0$ .

Lời giải:

Đặt $\dfrac{P(a_n)}{Q(a_n)}=A(x)+\dfrac{R(x)}{Q(x)}$ với $A(x),R(x)$ là các đa thức có hệ số hữu tỉ và $deg(R)<deg(Q)$ .

Khi đó tồn tại số nguyên dương $b$ và đa thức hệ số nguyên $B(x)$ sao cho: $A(x)=\dfrac{B(x)}{b}$ .

Với mọi số tự nhiên $k$ thì ta có: $A(k)=0$ hoặc $|A(k)| \geq \dfrac{1}{b}$ .

Mặt khác với số tự nhiên $k$ đủ lớn thì: $0<|\dfrac{R(k)}{Q(k)}|<\dfrac{1}{b}$

Do đó với $k$ đủ lớn thì: $\dfrac{P(a_n)}{Q(a_n)}$ không là số nguyên.

Suy ra: $R(x) \equiv 0$ .

Do đó: $\dfrac{P(x)}{Q(x)} = \dfrac{B(x)}{b}$

Với mọi số nguyên dương $n$ thì tồn tại $a_k \equiv n \pmod b$

Do đó: $\dfrac{B(n)}{b} \equiv \dfrac{B(a_k)}{b} \pmod b$ hay $\dfrac{B(n)}{b} = \dfrac{P(n)}{Q(n)}$ là số nguyên với mọi $n$

About cuoichutdi

Special

View all posts by cuoichutdi →

This entry was posted in Phương trình hàm-Đa thức. Bookmark the permalink.

Leave a comment Cancel reply

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.