Làm mạnh bất đẳng thức APMO 2004

Posted on March 30, 2014 by cuoichutdi

Trong kì thi toán Châu Á-Thái Bình dương năm 2004 có bài bất đẳng thức: $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \geq 9(ab+bc+ca)$

Nay ta có bất đẳng thức mạnh hơn.

Bài toán : Cho $a,b,c>0$ .Chứng minh: $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \geq 3(a+b+c)^2$ .

Lời giải:
Theo anh Nguyễn Ngọc Khanh-MS

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: $(a+b+c)^2 \leq (a^2+2)\left[1+\dfrac{(b+c)^2}{2}\right]$ .
Mặt khác: $(b^2+2)(c^2+2)-3\left[1+\dfrac{(b+c)^2}{2}\right]=\dfrac{(b-c)^2}{2}+(bc-1)^2 \geq 0.$
Do đó ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

About cuoichutdi

Special

View all posts by cuoichutdi →

This entry was posted in Bất đẳng thức. Bookmark the permalink.