Tiếp tục ý tưởng của bài trước, ta tổng quát và hình thức hóa quan sát không gian tô pô compact Hausdorff có thể xem là một hàm tử bằng cách xét tập hợp các ánh xạ liên tục vào không gian này. Ở đây chúng ta sẽ phải chú ý đến lực lượng của các không gian tô pô nguồn, chúng phải thỏa mãn điều kiện mà Clausen và Scholze gọi là lực lượng giới hạn lớn không đếm được (uncountable strong limit cardinal) để cho phạm trù nguồn trở thành phạm trù nhỏ (small category).
Một tập hợp/nhóm/vành.. ngưng tụ là một bó (sheaf) đi từ phạm trù các không gian tô pô profinite (thỏa mãn điều kiện lực lượng nêu trên) vào phạm trù tập hợp/nhóm/vành.. Nghĩa là ngưng tụ được hiểu như là một kiểu hội tụ lỏng hơn, hội tụ theo các mối quan hệ (inverse limit) không còn cứng theo nghĩa bị giới hạn bởi khoảng cách trong không gian.
Định nghĩa tương đương với việc đó là một bó đi từ *_pro-etale vào phạm trù tập hợp/nhóm/vành.., trong đó:
Định nghĩa: Một mạng lưới (site) pro – étale của một điểm (kí hiệu *_pro-etale) bao gồm
a) phạm trù các tâp pro-finite
b) phủ là những họ hữu hạn các ánh xạ toàn ánh đồng thời (jointly surjective).
Pro-etale được xem như một tổng quát hóa của etale site, được đưa ra bởi Bhatt và Scholze vài năm trước đây nhằm xây dựng các đối đồng điều tốt hơn cho hình học p-adic, như cách mà Grothendieck đã làm với đối đồng điều etale.
Điểm đặc biệt trong lý thuyết của ngưng tụ đó là dù định nghĩa ban đầu của của Clausen và Scholze trên phạm trù các tập profinite, phạm trù các tập ngưng tụ sẽ tương đương với phạm trù các bó định nghĩa trên không gian to po compact Hausdorff, cũng như phạm trù các bó định nghĩa trên không gian to po extremally disconnected. Điều này đến từ việc với mọi không gian compact Hausdorff S, đều tồn tại một tập profinite S’ cùng với toàn ánh S’ -> S. Chẳng hạn như [0,1] có một toàn ánh từ ∏N{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}∏N{0,1,2,3,4,5,6,7, bằng cách viết các số dưới dạng thập phân. Hoặc hình thức hơn, ta có thể lấy S’ là Stone-Cech compactification của S_disc (tập S với topo rời rạc). Người ta chứng minh được rằng không gian Stone-Cech này là extremally disconnected. Điều này rất hữu ích vì nhờ đó mà ta có thể chứng minh được phạm trù các nhóm abel ngưng tụ Cond(Ab) là giao hoán, chúng thỏa mãn hoàn toàn các tiên đề của Grothendieck. Về mặt phạm trù, Cond(Ab) không khác gì nhóm abel Ab. Trong thực hành, ít khi nào ta dùng thẳng được các định nghĩa. Để chứng minh một điều gì đó trong thế giới ngưng tụ, thường thì hoặc là chúng ta xem xét các không gian hữu hạn và chuyển qua inverse limit, hoặc là ta sẽ xét các tập extremally disconnected.
Ngoài ra còn có một cách tiếp cận định nghĩa của các cấu trúc ngưng tụ bằng Monad, một cấu trúc nhằm đại số hóa mọi thứ trong toán học. Tôi sẽ viết về định nghĩa này vào blog tiếp theo, rất thú vị.
Để kết thúc, tôi lấy thêm 1 ví dụ không tầm thường trong tô pô. Vì các số hữu tỉ trù mật trong tập các số tự nhiên cho nên không gian tô pô thương R/Q là tầm thường (trivial hay indiscrete), nghĩa là chỉ có 2 tập mở là toàn bộ không gian R/Q và tập rỗng. Theo Scholze, điều này có nghĩa khái niệm topo chỉ cho ta hiểu được những điểm có khoảng cách đủ xa. Nhưng trong nhiều trường hợp, đôi khi các điểm vì quá gần nên không còn phân biệt được về mặt tô pô, như trong trường hợp R/Q. Nôm na, ta xem hàng xóm của người cũng là hàng xóm của mình. Các tập ngưng tụ giúp cho ta có được “R/Q” không tầm thường, phân biệt được cái mà Scholze nói là gần vô hạn (infinitely near, but distinct).
“Mà trong lẽ phải có người có ta”
-Nguyễn Du
Blog Toán Học 